miércoles, 12 de septiembre de 2007

Cuestión de preguntas

El otro día encontré en una sala de Go en kgs en la que semanalmente se publican pasatiempos matemáticos el siguiente dilema, parecido a muchos otros, que me llamo especialmente la atención por una pequeña modificación. No de la respuesta, espero que les divierta.

Dice así: '' Un hombre se encuentre frente a tres oráculos. Uno de ellos dice siempre la verdad, otro siempre miente y un tercero responde mentiras y verdades al azar. Has de hacer tres preguntas que se contestan con un sí o un no, destinadas a cuales quieras, con el objetivo de descubrir cual es cada oráculo. Existe además una dificultad añadida, que los oráculos responden a las preguntas con Ynah o Utah, pero no sabes cual se corresponde con el sí y cual con el no. ''

viernes, 13 de julio de 2007

La aventura del Go

Queridos lectores, llevaba tiempo sin escribir y ahora me voy unos días (supongo que como mucho un par de semanas, aunque quién sabe qué me voy a encontrar) y no creo que consiga acceder a Internet. Así que os dejo esta entrada en la que os hablo sobre aspectos generales del fascinante juego del Go ya comentadas sus reglas anteriormente, podéis encontrar lo tratado en este blog sobre el Go en la etiqueta del margen "El juego del Go".

“Así como la paciencia, según dicen, es oriental, se esgrime a Occidente como depositario de la racionalidad. El juego ciencia más famoso, el ajedrez, proviene de la India, y según dicen, data del siglo VI. Pero el Go, este difundido juego de inteligencia tiene un mentor más viejo, más sencillo y más complejo a la vez. El Go es un juego de estrategia que se originó en China hace unos 4.000 años, es incluso más antiguo que la escritura. Simple en sus reglas y a la vez de una complejidad infinita.

Según cierta leyenda, el juego lo inventó un emperador sabio para su hijo, y sucesor, el impredecible Dan-Zhu, que mostraba signos de estupidez según su padre quien no iba ha dejar su reino en manos de un inepto. Este aprendió tan complicado juego como una gimnasia para ejercer el poder con cordura y equidad.

En su nombre original, "Wei qi" (se lee guichi, según el método pinyin), según nos informa Javier Moreno Carnero en los comentarios, "Wei" significa rodear, y "Qi" es relativo a los juegos de tablero, el ajedrez también utiliza este último caracter". En Corea tomó el nombre de Patok o Badok, y muchos siglos más tarde, apareció en Japón donde adoptó el nombre de I-Go, o simplemente, Go.

A través de la historia ha cautivado el interés de grandes personalidades de oriente como Sun Tzu, Confucio y Mao Tse Dong, y de occidente como el matemático Gottfried Leibniz, el matemático y premio Nobel de Economía John Nash, y el escritor argentino Jorge Luis Borges quien incluso dedicó un poema al juego. La belleza del juego ha servido de inspiración para la ciencia, el cine, el arte, la literatura e incluso para series de comics y éxito televisivo (Hikaru No Go!). En la actualidad, es el segundo juego más popular del mundo, con unos 50 millones de jugadores, estos se encuentran sobre todo en Asia, pero Internet ha contribuido a una rápida expansión del juego en Occidente.


Cuenta una leyenda que un caminante vio a dos ancianos jugando al Go y se acercó y les preguntó: ¿Que tiene de interesante ese juego, en el que no se hallan presentes ninguno de los placeres terrenales? Uno de los ancianos le respondió: Para el que mira con los ojos sólo verá un tablero de Go, pero para los que ven con el pensamiento, el Go es el centro del universo, y en el dos fuerzas (Yin y el Yang: opuestas pero complementarias) dispuestas a disputarse la supremacía en una lucha a muerte y sin cuartel.

El juego es como la vida misma, son tantas las combinaciones posibles en un tablero de 361 intersecciones que superan al número de átomos de nuestra galaxia, lo que hace que cada partida sea única. Es por ello entre otras curiosidades que este juego sigue siendo invencible para las computadoras. Todavía no se ha creado un émulo de la famosa Deep Blue que supo vencer al ruso Garry Kasparov, aunque se hayan ofrecido premios de 10 millones de dólares para quien lo consiga.

En una partida los jugadores reflejan sus personalidades y entre jugadores avanzados estos son capaces de interpretar y acabar por conocerse muy bien sin haber intercambiado palabra alguna.

En estos tiempos los mejores profesionales de Go, concentrados en China, Corea y Japón, ganan bolsas tan grandes como la de los torneos profesionales de golf. A la prestigiosa Universidad de Tokyo se ingresa, sin el exigente examen de admisión, acreditando un buen nivel de juego, lo cual no es para nada fácil.

La gran estrategia, dicen los campeones, es saber ceder. Como en la vida, cuando se gana siempre hay que resignar algo. Esto es: aprender a dar para recibir. El maestro de Go instruye a sus alumnos: "No defiendas lo que no se puede defender", "De cada jugada saca el máximo de provecho", "No empieces la partida sin una estrategia", "Quien tiene la iniciativa, tiene media batalla ganada", "Si quieres vencer, divide a tu enemigo", "No luches contra tu oponente, lucha contra el tablero”.

El sentido del juego es tan profundo .., hay tanto de que hablar en este juego, tantos documentos, pero por ahora me quedo aquí ...

Enlaces:


Si ya conocen las reglas, que disfruten jugando con un amigo o en:

Fuentes consultadas:

Para más información ver enlaces sobre el Go en el margen izquierdo de esta página.

domingo, 1 de julio de 2007

Infinitas incógnitas

Hace poco en Gaussianos apareció la siguiente cita tomada del libro "INFINITUM. Citas matemáticas" :

Ningún pensamiento como el del infinito ha turbado tan profundamente el espíritu humano, ni ninguna otra idea ha estimulado tan intensamente su intelecto.
David Hilbert
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El comentario de G (su blog: Fermat Margin) en la entrada anterior hizo que me acordara de un interesante problema en el que aparecen infinitas equis. Pese a que resulta difícil de imaginar es mucho más fácil de lo que parece.
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Se trata de calcular el valor de x en la ecuación:



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Y aquí una interesante variante:
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¡Suerte a tod@s! Mismo problema tratado con más profundidad en una entrada de Gaussianos.

Actualización (4 de julio de 2007): Semejanza de las dos ecuaciones anteriores con la representación mediante raíces anidadas del número aúreo.

El número aúreo es la solución a la ecuación:

--ç
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Si despejamos el término cuadrático tomando luego raíces, nos queda:
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Si ahora sustituimos el φ del radicando por su valor que se corresponde a la raíz completa y repetimos el proceso indefinidamente pasamos de:
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¿Bonito verdad? Más en Epsilones Fórmulas.

domingo, 24 de junio de 2007

Álgebra recreativa

Respuesta al problema 6) de Encuentra el número II. Todos hemos advertido que al multiplicar por si mismo varios números terminados en 1 ó 5, el producto acaba en la misma cifra. Menos conocido, aunque llegamos al mismo resultado para todo número acabado en 6. Por ello toda potencia de un número acabado en 6 termina asimismo en 6.
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3786^258 termina en 6, 35^7233 termina en 5, 3241^132 termina en 1 etc.
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Esta curiosa propiedad de las cifras 1, 5 y 6 (abstenemos al 0) puede ser fundamentada algebraicamente, pero pasaremos a analizar casos mas complejos tras los cuales no tendréis dificultad para demostrar los casos sencillos.
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Hay números de dos cifras que también tienen la misma propiedad que las cifras 1, 5 y 6. Nos referimos a los números 25 y sorprendentemente 76. La demostración es como sigue. Aprovechando nuestro sistema de numeración decimal expresemos dos números terminados en 76 de la siguiente manera:
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100a + 76, 100b + 76
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Multipliquemos entre si y obtendremos tras operar:
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10.000ab + 7600b + 7600a + 5776 =
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= 10.000ab + 7600b + 7600a + 5700 + 76 =
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= 100 * (100ab + 76b + 76a + 57) + 76
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De esto se desprende que toda potencia de un número (o producto de dos números) acabado en 76, termina en también en 76. Por ejemplo: 376 ² = 141.376, 576 ³ = 191.102.976, etc.
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Existen también grupos de números con mayor cantidad de cifras que, al figurar al final de los mismos, aparecen también en su producto. El número de tales grupos de cifras es infinitamente grande.
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Conocemos ya dos grupos compuestos de dos cifras, que poseen propiedad análoga: el 25 y el 76. Para encontrar grupos semejantes con tres cifras hay que colocar delante del 25 o del 76 una cifra tal que nos dé un grupo de tres guarismos con la misma propiedad. Expresemos tal cifra con k. El número de tres cifras buscado se expresa como:
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100k + 76
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Se toman los números de una cifra más, de la misma forma:
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1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76
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Multiplicando dos números de este tipo entre sí y organizando, obtendremos:
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1.000.000ab + 100.000ak + 100.000bk + 76000a +
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+ 76.000b + 10.000k 2 + 15.200k + 5.776
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Todos los sumandos, menos los dos últimos, terminan, por lo menos, en tres ceros. Si el número anterior acaba en 100k + 76 (cosa que hemos supuesto en un principio) se ha de cumplir que la diferencia
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15.200k + 5.776 - (100k + 76) = 15.100k + 5.700 =
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= 15.000k + 5.000 + 100 (k + 7)
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se divide entre 1.000 sin dejar resto. Esto, evidentemente, ocurre cuando k sea igual a 3. Así pues, el grupo de cifras buscado es 376. A esto se debe que toda potencia de 376 termine en dicho número. Por ejemplo: 376 ² = 141.376.

Si nos interesa hallar un grupo de cuatro cifras que tenga la misma propiedad, debemos colocar delante de 376 una cifra más. Si expresamos esta cifra con L, se nos plantea el siguiente problema: ¿ Cuál debe ser la cifra L para que la multiplicación
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(10.000a + 1000L + 376) * (10.000b + 1.000L + 376)
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termine en 1.000L + 376? Si abrimos los paréntesis de esta multiplicación y prescindimos de todos los factores que terminan en cuatro ceros o más, nos quedará
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752.000L + 141.376
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La multiplicación termina en 1.000L + 376 si la diferencia
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752.000L + 141.376 - (1.000L + 376) =
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= 751.000L + 141.000 =
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= (750.000L + 140 000) + 1.000 * (L + 1)
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se divide entre 10.000. Esto, sin duda, tendrá lugar solamente cuando L sea igual a 9. El grupo de cuatro cifras buscado es 9376. El grupo obtenido puede ser completado con una cifra más, para lo cual es preciso seguir idéntico razonamiento. Obtendremos 09.376. Si damos un paso más hallaremos el grupo de cifras 109.376 y, después 7.109.376, etc. Tal adicción de cifras a la izquierda del número puede ser efectuada infinita cantidad de veces.
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Y lo más interesante, aunque resulte raro y abstracto, es que si continuamos sacando más cifras ese "número infinito" satisface la ecuación:
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x ² = x
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Operando sucesivamente con cada una de las cifras del número x ² donde x =... 7 109 376, obtendremos las mismas cifras que teníamos con el número x, por lo cual, x ² = x. Hemos examinado grupos de cifras que terminan en 76. Si se aplica el mismo razonamiento para grupos de cifras terminados en 5 obtendremos los siguientes grupos de cifras:
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5, 25, 625, 0625, 90625, 890 625, 2 890 625, etc.
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Por ello podemos escribir otro “número infinito”: … 2.890.625, que también satisface la ecuación x ² = x. «Podríamos demostrar que este numero infinito equivale a:
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(((5 ² ) ² ) ² ) ² ) …»
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El interesante resultado obtenido en el “idioma de los números infinitos” se formula de esta manera: la ecuación x ² = x tiene (además de) de x = 0, x = 1), otras dos “soluciones infinitas”
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x = ... 7.109.376 y x = ... 2.890.625;
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sin ninguna otra solución (en el sistema de base diez).
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Fuente: libro "Algebra recreativa" de Yakov I. Perelman

jueves, 14 de junio de 2007

Encuentra el número

Cada letra representa una cifra diferente en cada caso:

1) AABB=(CD)² Hallar un cuadrado de la forma AABB

2) ABCD = (CD)² Hallar un número de 4 cifras que sea el cuadrado de sus dos últimas cifras

3) A²+2=B^3 Hallar un cuadrado que se tranforma en un cubo al sumarle 2 unidades

Encuentra el número II

Aunque por el Último Teorema de Fermat no haya números x, y, z enteros de la forma x^n=z^n + y^n para n>2 y "n natural"( y digo esto último porque al redactar me planteé:

¿existirán nº de la forma anterior en la que n es decimal? Lo digo porque siempre oi que tal personaje probó que no existían nº para n=3... ¿y para n=3,5? Puede que la respuesta sea inmediata, pero no alcanzó ahora a responder ¿Engloba la reciente demostración del Teorema de Fermat los "n decimales"?). Pero sin embargo existen infinitos valores de A, B, C y D que satisfacen:

4) A²+B²+C²=D² La suma de tres cuadrados es otro cuadrado

5) A^3+B^3+C^3=D^3 La suma de tres cubos es otro cubo

6) Y he aquí el que más me gusta (ABC)²=CDEABC Hallar un número de 3 cifras, tal que su cuadrado termine con las mismas 3 cifras, en el mismo orden. Para el caso de una cifra serían el 1, el 5 y el 6, y para el de dos cifras no es muy difícil. Alguien se atreve con 4 cifras, o con 5 cifras... , los resultados son infinitos, pero hace falta expresarlo todo algebraicamente.

Suerte a tod@s!, sería interesante alguna explicación a tantas preguntas que pasan por mi mente ;) De momento creo que es suficiente para mantener vuestras mentes activas.

lunes, 4 de junio de 2007

Las matemáticas en vídeo

Hoy os presento una interesantísima web EDUMATE-PERÚ que muchos ya conoceréis y que hace especial incapié en la educación matemática y su didáctica. Quería destacar su sección de vídeos matemáticos, los más recientes los encontrareis en el margen derecho. Todos, a través de este enlace vídeos-edumate. Los vídeos están muy bien, destacaría los que tratan acerca de la vida y trabajos del gran Euler, donde aparecen algunas citas y resultados de demostraciones igual de ingeniosas de sucesiones como la dada por Leibniz en la entrada anterior. Vídeos:

Aprovecho también para continuar la entrada anterior y responder al comentario de G, con los siguientes sorprendentes resultados:


Series infinitas: Euler logró hallar en 1736 la suma de los recíprocos de los cuadrados, buscada por grandes matemáticos como Jacqes Bernoulli, o "Leibniz que afirmaba ser capaz de sumar cualquier serie, hasta que lo frenó Wallis preguntándole por la suma de 1/n^2", es decir:


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Asimismo logró calcular la suma de los recíprocos de las cuartas y sextas potencias:





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!Es impresionante la importancia de pi y el número de sitios insospechados en los que aparece!

También descubrió el conocido número e y lo relacionó con la suma de los recíprocos de los factoriales:





Y qué decir de la identidad de Euler, cuya demostración es relativamente sencilla, que relaciona los cinco números más importantes de la historia de las Matemáticas. Como dijo en cierta ocasión el matemático Benjamin Peirce a sus alumnos:

"Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad".


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Lo que empezó con la intención de hacer un brevísimo post recomendándoos la web EDUMATE-PERÚ a acabado por enrollarme. Ahora sí, les dejo que he de estudiar que !ya solo queda una semana de exámenes finales de curso en España! ¡Saludos!
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Fuente: Wikipedia

miércoles, 30 de mayo de 2007

Demostraciones ingeniosas

Son muchas las cuestiones matemáticas, y muchas las demostraciones extensas y aquellas para las que se necesitan conocimientos muy avanzados para solamente comprenderlas, sirvan de ejemplo la conjetura de Fermat y la conjetura de Poincaré, recientemente demostradas y convertidas en teoremas. Pero existen otro tipo de demostraciones igual de admirables, aquellas en la que no privan los conocimientos sino el ingenio. De esto tenían mucho Leibniz y Sofía Germain, y qué decir del gran maestro Euler.
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Teorema de Sofía Germain
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He aquí un problema propuesto por Sofía Germain, conocida matemática francesa: Demuéstrese que los números del tipo a ^4 + 4 son compuestos, (con la condición de que a sea distinto de 1). Aclaraciones: compuesto es lo contrario de primo. a^4=a · a · a · a se transcribe como "a" elevado a la cuarta potencia.
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a ^4 + 4 = a ^4 + 4(a ^2) + 4 - 4(a^ 2) = (a ^2 + 2) ^2 - 4(a ^2) =
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= (a ^2 + 2) ^2 - (2a) ^2 = (a ^2 + 2 - 2a) · (a^ 2 + 2 + 2a)
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De aquí se desprende que, todo número de la forma a ^4 + 4 puede ser expresado en forma de dos factores que no sean iguales ni a él ni a la unidad, es decir, no puede ser un número primo.
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Demostración de Leibniz
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Cuando llegó Leibniz a París aún sin una base matemática sólida, le pidió a Huygens que le introdujeera en los círculos matemáticos del momento. Para evaluar la capacidad de Leibniz se le propuso el siguiente problema: calcular la suma de infinitos términos de los números triangulares.
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Leibniz dio la respuesta de forma ingeniosa. Calculó, no la suma, sino su mitad:
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1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =
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=(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... =
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= 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1
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Luego S = 2
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Las autoridades matemáticas abrieron las puertas de par en par a Leibniz y tal vez gracias a ello pudo nacer el cálculo diferencial e integral.

domingo, 20 de mayo de 2007

Maratón de problemas II

1) ANA, BETTY Y CAROLINA
Se seleccionan 3 dígitos al azar distintos de 0. Se pega uno de esos tres dígitos en la frente de Ana, otro de los dígitos en la frente de Betty y el último dígito en la frente de Carolina, de tal modo que ninguna de las niñas vea el dígito que ella misma tiene en su frente. Además las niñas están en cubículos con vidrios especiales de tal modo que Ana puede ver a Betty y a Carolina, mientras que Betty solo puede ver a Carolina y Carolina solo a Betty. El objetivo para cada niña es deducir cuál es el dígito que lleva en la frente. El juez les informa que el número formado por los dígitos que tienen Ana, Betty y Carolina, en ese orden, es un cuadrado perfecto. Suponiendo que las tres llevan a cabo un razonamiento lógico.

Después de esto Ana dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".
En seguida Betty dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".
Finalmente, Carolina dice: "Yo sí se cuál es mi dígito".

¿Cuál es el dígito que Carolina tiene en la frente?


2) CUMPLEAÑOS DE PABLO, MARÍA Y JUAN
Pablo, María y Juan celebran hoy los tres sus cumpleaños. Sus edades son diferentes. Pablo es el más joven de los tres, tiene cuatro años menos que Juan, el mayor. A los tres les encanta jugar con los números. Calculan todas las distintas sumas de dos y tres números entre sus edades. Sumando todas esas sumas obtienen un primer resultado. Calculan después todas las diferencias positivas entre sus edades, a continuación suman esas diferencias y obtienen un segundo resultado. Dividen el primer resultado entre el segundo, y cosa curiosa, se obtiene la edad de Juan.

¿Cuál es la edad de Juan?

!No! No faltan datos. Suerte a tod@s y a hacer uso de vuestro cálculo e ingenio

sábado, 19 de mayo de 2007

Origen de la Luna

No se sabe a ciencia cierta cual es el origen de nuestro satélite, aunque existen varias teorías. Las podéis encontrar todas en AstroMía. En este artículo voy a centrarme en la Hipótesis de impacto ya que es una mezcla de las demás, y resulta hasta el momento la más aceptada.

Su desarrollo comienza al descubrir que la composición de la Luna era prácticamente la misma que la de la superficie terrestre, suponiendo que debía de haberse creado a partir de la propia Tierra. Un cuerpo tan grande en relación a nuestro planeta difícilmente podía haber sido capturado ni tampoco era probable que se hubiese formado junto a la Tierra.

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Así, la mejor explicación de la formación de la Luna dice que ésta surge de la colisión de un cuerpo del tamaño de Marte (la mitad del radio terrestre y un décimo de la de su masa) contra nuestro planeta. La enorme energía suministrada por el choque fundió la corteza terrestre al completo y arrojó una gran cantidad de materia incandescente al espacio. Con el tiempo se formó un anillo de roca alrededor de nuestro planeta hasta que se uniría formando un cuerpo compacto, la Luna.

Ver Simulación del impacto y formación.
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Su órbita inicial estaba mucha más cerca de la Tierra que la actual y el día terrestre era mucho más corto ya que la Tierra rotaba más deprisa. Durante cientos de millones de años la Luna ha estado alejándose lentamente de la Tierra a la vez que ha ralentizado la rotación.
Esta teoría también explica la gran inclinación del eje (23,5º) de rotación terrestre que habría sido provocada por el impacto.

Lo más dudoso de esta teoría es que tendrían que haberse dado demasiadas coincidencias juntas. La probabilidad de impactar con un astro errante era muy alta al inicio del Sistema Solar. Más dificil es que la colisión no desintegrase totalmente el planeta y que los fragmentos fuesen lo suficientemente grandes como para poder generar un satélite.

Más información en Wikipedia.

lunes, 14 de mayo de 2007

La técnica en el Go

Leer antes las instrucciones de juego dadas en el artículo anterior.
Aquí se presentan los conceptos técnicos básicos. Pronto se tratarán los conceptos de "ko" y "seki", el primero bastante común, y lo podéis encontrar explicado en este enlace.
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Bastiones:
A medida que se van colocando más fichas en el tablero, puede parecer que todos los grupos podrían, eventualmente, amenazarse mutuamente, pero es posible formar un grupo que no pueda ser capturado.

Por ejemplo, el grupo negro de la esquina superior izquierda de la imagen está totalmente rodeado de fichas blancas, pero esta fortificación negra no está en ningún peligro. Las blancas nunca podrían cerrar las salidas interiores. Puesto que cualquier ficha blanca colocado tras las líneas negras sería rápidamente eliminada (capturada).

Solo hay peligro cuando:
1º.- El grupo es demasiado pequeño o compacto,
o 2º.- El espacio dentro del grupo es lo suficientemente extenso como para que el enemigo pueda “crear un estado dentro del estado”.

La construcción del bastión o grupo “viviente” se basa en la formación de “ojos”. Pero antes de pasar a la descripción de “ojos”, se debe definir el concepto de “suicidio”.
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El Suicidio:
No está permitido hacer una jugada que ocupe la última salida en el interior de una formación enemiga (suicidio) a no ser que esta jugada capture una o más piedras enemigas.
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-Fig. izquierda: Blanco no puede colocar en a, b o e pues no tendría acceso a ninguna intersección sin ocupar, sería suicidio.

-Fig. centro: Blanco puede colocar en a, b, c o e pues ha rodeado completamente al enemigo. Para entender esto, se ha de fijar en que primero se atiende a la situación ofensiva de las piedras del jugador en espera(en este caso Negro) y tras esto al jugador que acaba de colocar(Blanco)

-Fig. derecha: Resultado después de que Blanco capture las piedras enemigas.

El suicidio está restringido por lo que se elimina inmediatamente la/s piedra/s que se encuentre en una situación de suicidio.

Los ojos:
Un ojo es una intersección que se encuentra completamente rodeada por un grupo de piedras unidas del mismo color. De por sí solo un ojo sirve para poco, pero cuando conseguimos unir dos ojos creamos un grupo imposible de capturar:

En la imagen el grupo de blancas tiene dos salidas. Si a una negra se le ocurre ocupar cualquiera de esas vacantes, se suicida. Ya que solo se puede colocar una piedra por turno el grupo con dos ojos es un bastión totalmente asegurado contra la captura.
El ojo de la imagen se consigue con 13 piedras, pero se puede hacer lo mismo en un lateral con 5 menos aprovechando las defensas naturales del borde del tablero. E incluso si se hace en la esquina aprovechando dos laterales se ahorran 2 más.
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Un grupo con dos ojos o un bastión constituyen una excelente base de operaciones desde la cual conectar otros grupos y asegurar así su permanencia.
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Estrategia básica:
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El jugador tiene que tratar de rodear la mayor porción de territorio con el menor número de piedras posibles.
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Lo primero que tiene que hacer es elegir un sitio seguro y de fácil acceso para formar su primera base de operaciones. Este sitio es sin duda la esquina puesto que los dos bordes que la forman constituyen una defensa natural. Tampoco situé sus piedras exactamente en el borde si no posee ojos ya que aunque son más fáciles de proteger también lo son de acorralar. Por ello situé las piedras a 3 o 4 intersecciones del lateral y esquina.
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Entonces ocupe:

  1. Primero las esquinas,
  2. después extiéndase por los laterales consolidando su posición
  3. y finalmente encamine sus piedras hacia el centro.

Esto no quiere decir que no pueda saltar de una esquina a otra, al contrario esto es aconsejable.

Conectividad y velocidad

En la estrategia del juego del Go entran en consideración dos conceptos: la conectividad y la velocidad.
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Es importante tener cercanas unas piedras de otras pero también extenderse en el tablero. Dese cuenta que no tiene por que colocar 10 piedras en una esquina para hacerla suya a largo tiempo, sino que le vale con 3 ó 4 de ventaja frente a su oponente, suficiente.
Deje que su oponente controle dos esquinas y controle mejor usted las otras dos abarcando mayor territorio y seguridad. Le aseguro que no hay mayor satisfacción que vencer sin haber combatido. Eso sí, si es de los que le guste pelear ataque fuerte y decisivamente que por una vez no va a lastimar a nadie.
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Enlaces:
Para aprender a jugar al Go de forma interactiva.
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Que disfurten jugando con un amigo o en:

sábado, 12 de mayo de 2007

LógicaMente III

Los anteriores LógicaMente I y II resultaron más sencillos, hoy os presento otro juego de pura lógica (no hay trucos) que según la leyenda fue escrito por Einstein cuando era solo un niño, con la idea de que el 98% de la población mundial no lo pudiera resolver.

Premisas:

  1. En una calle hay cinco casas, pintadas de diferentes colores, en una fila de izquierda a derecha.
  2. En cada casa vive una persona de diferente nacionalidad.
  3. Los dueños de éstas cinco casas beben distintas bebidas, fuman distintas marcas de cigarros y tienen una mascota diferente.

La pregunta: ¿Quién es el dueño del pez?

Pistas:

  1. El británico vive en la casa roja.
  2. El sueco tiene un perro.
  3. El danés bebe té.
  4. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca.
  5. El dueño de la casa verde bebe café.
  6. La persona que fuma Pall Mall cría pájaros.
  7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
  8. El hombre que vive en la casa del centro toma leche.
  9. El noruego vive en la primera casa.
  10. El hombre que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos.
  11. El hombre que tiene caballos vive al lado del hombre que fuma Dunhill.
  12. El hombre que fuma Blue Master bebe cerveza.
  13. El alemán fuma Prince.
  14. El noruego vive al lado de la casa azul.
  15. El hombre que fuma Blends tiene un vecino que bebe agua.

No se asusten, es verdad que es complicado y es posible que no salga a la primera vez, por eso les sugiero que se relajen y disfruten. Pido encarecidamente que no busque la respuesta en Internet y la publique aquí, lo único que haría sería engañarse a si mismo. Sería interesante que se comentasen breves partes del razonamiento o algunas claves. ¡Suerte a tod@s!

miércoles, 9 de mayo de 2007

¿Cuál es la distancia al horizonte?

Imagina que estás en la playa de pie mirando el horizonte: ¿a qué distancia se encuentra? Antes de seguir haz una estimación: ¿5 Km?, ¿50?, ¿500?...


El horizonte es la línea a partir de la cual no podemos ver más allá a causa de la curvatura de la Tierra. Entonces la línea visual que une nuestros ojos con el horizonte es una línea recta tangente a la Tierra, y por tanto perpendicular al radio de esta en el horizonte.

Los datos necesarios son el radio de la Tierra(r=6378 Km. aproximadamente en el ecuador), y la altura a la que se encuentran los ojos del observador ("a" en el esquema, claramente exagerado). Aplicando el teorema de Pitágoras calculamos la distancia al horizonte (h):
Si suponemos que nuestros ojos se elevan a=1,70 metros del suelo (0,0017 Km.) y aplicamos la fórmula el horizonte estará a 4,66 Km. Dependiendo de nuestra altura, este valor puede oscilar entre 4 Km(para los más pequeños de la casa) y 5 (para los jugadores de baloncesto).

Y yo me pregunto... ¿a qué distancia está 'vuestro horizonte'?

domingo, 6 de mayo de 2007

Cálculo mental

Os presento otra de mis debilidades; el calculo mental. Iré introduciendo en artículos posteriores a algunos de los más grandes genios con habilidades para hacer todo tipo de cálculos complejos a velocidades de vértigo con la única ayuda del cerebro, la más compleja y potente de las máquinas. También se tratarán trucos y consejos para la mejora del cálculo y para el deleite propio y de nuestros amigos.

Comienzo con:

Srinivasa Ramanujan, un genio del que hablar.

Con con un rasgo sobresaliente, ojos brillantes... fue Ramanujan uno de los más curiosos genios que ha dado la humanidad. Nacido en el seno de una familia humilde de la India en 1.887, estaba dotado de una capacidad intuitiva para las matemáticas muy inusual.

Sin tener estudios matemáticos consiguió logros importantísimos gracias a su capacidad de abstracción y a su portentoso dominio de los números y sus propiedades.

Su presentación en Occidente fue a través de una carta que envió al prestigioso matemático inglés G. H. Hardy con varios de sus teoremas y fórmulas matemáticas. Cuando Hardy lo leyó hizo el siguiente comentario:

"Nunca había visto nada ni siquiera parecido. Una ojeada es suficiente para comprender que solamente podían ser escritas por un matemático de la más alta categoría. Tenían que ser ciertas, porque si no lo fueran, nadie habría tenido suficiente imaginación para inventarlas"

Tenía una extraordinaria memoria, pudiendo recordar las características de los diferentes números de una manera casi misteriosa. Como él mismo decía "cada entero positivo es uno de mis amigos personales".

Antes de su fallecimiento, de tuberculosis a los 33 años, Hardy fue a visitarlo y de entonces nos cuenta la siguiente anécdota:

"una vez fui a verle cuando yacía enfermo en Putney. Para romper el hielo le conté que había viajado en un taxi cuyo número me resultaba un tanto insípido, el 1.729. Rápidamente me respondió, no amigo no, es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos formas distintas".

1729 = 10^3 + 9^3; 1729 = 12^3 + 1^3

Añadió a su memoria, a su paciencia y a su capacidad de cálculo, un poder de generalización, un sentido de la forma y una capacidad de modificación rápida de sus hipótesis realmente sorprendente, que le sitúan, en su campo, en el lugar más destacado.

Como su mentor Hardy vuelve a decirnos:

"Probablemente, Ramanujan habría sido mejor matemático si lo hubieran descubierto y educado al poco de su juventud. Habría descubierto más cosas nuevas y, sin duda, de mayor importancia. Por otra parte, habría sido menos parecido a Ramanujan y más semejante a un profesor europeo y así la pérdida hubiera sido tal vez mayor que la ganancia"

Decir también que existe el premio anual Ramanujan para matemáticos jóvenes (menos de 45 años) de países en desarrollo. El premio es de US$ 10,000 en efectivo además de los gastos para el viaje y viáticos, para recibir su premio y dar su conferencia.

Fuentes:

viernes, 4 de mayo de 2007

Series numéricas

He aquí unas cuantas series de números para que intentéis saber como se han formado y como continúan. Agradecería que al principio solo se desvelase el término siguiente, para que el que acceda tras esto al acertijo pueda seguir participando y añadiendo más números. Cuando la cosa haya quedado clara, se puede dar la ley de formación.

  1. 1, 4, 9, 61, 52, 63, 94, 46, 18, 1, 121, 441, 961...
  2. 0, 1, 8, 11, 88, 101, 111, 181, 808, 818, 888, 1001, 1111, 1881, 8008, 8118, 8888, 10001, 10101, 10801, 11011...
  3. 1, 1, 2, 4, 7, 11, 18, 36, 65, 101, 166, 332, 599, 931...
  4. 3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 7...
  5. 3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, 5, 2, 9, 8...

Hay que decir que algunas son realmente rebuscadas e ingeniosas. ¡Suerte a tod@s!.

miércoles, 2 de mayo de 2007

Slitherlink: un nuevo e interesante pasatiempo

Slitherlink es un interesante pasatiempo lógico creación de la conocida editorial nipona Nikoli que pretende como muchos otros llegar a conseguir el éxito del Sudoku. En sus orígenes, por el año 1989 cada cuadrado contenía un número pero en la actualidad, solo cerca de la mitad de los cuadrados contiene un número.


Se nos facilita una cuadrícula con puntos y algunos números, y para su correcta solución se han de cumplir los siguientes enunciados (fijarse que se cumplen todos en la imagen):
  1. Se trata de unir los puntos mediante trazos verticales y horizontales.

  2. El objetivo es crear un camino continuo y único.

  3. Cada número (0, 1, 2, 3) inscrito en un cuadrado especifica el número de segmentos de línea adyacentes al mismo.

Es de gran ayuda marcar con una pequeña ‘x’ el espacio entre dos puntos que no pueden ser unidos. Muestra especial atención a los ‘0s’ y a los ‘3s’, y a las esquinas. En esta página de la editorial Nikoli podéis ver una pequeña presentación de la resolución de un Slitherlink, que os puede ayudar.

Ya puedes disfrutar jugando en esta página o descargarlos en una versión gratuita.

-Lo esencial es lo anterior, pero si quieres saber más, ¡adelante!:

Uno de los razonamientos más utilizados para la resolución del Slitherlink, es una norma que se saca del apartado [2], y dice que cada punto tiene exactamente dos líneas conectadas a él o ninguna línea[4], puesto que de un punto no puede salir solo un segmento porque tendría una entrada pero no una salida (no sería continuo) y tampoco pueden salir más de dos (existiría más de un camino). Aplicaciones:

  • Imagínate dos ‘3s’ adyacentes, pues de los 7 segmentos que se pueden formar, el que tienen en común ha de ir siempre marcado, puesto de no ser así los otros 6 segmentos deberían ir marcados por [3] y se forma un óvalo [] cerrado que es imposible conectar con cualquier otra línea, porque se incumpliría [4]. También, las dos líneas externas del grupo (paralelas a la línea común) se deben marcar.

  • Con un razonamiento similar, si dos ‘3s’ se encuentran en diagonal, las cuatro líneas que no tocan el punto común se deben llenar. No os pongo el razonamiento de esto último para que lo penséis vosotros, sino sale después de intentarlo varias veces, lo digo yo.

Lo que realmente me gusta de los pasatiempos lógicos es que para su resolución no se necesitan conocimientos matemáticos, pero para casos excepcionalmente difíciles puedes elaborar tus propias normas o recurrir a teoremas matemáticos como:

  • Cada curva abierta que empieza y termina fuera de una curva cerrada debe cruzar la curva cerrada un número par de veces (un lío). Aplicado a lo que nos interesa: intenta, con las reglas de este pasatiempo, cercar una región con un número impar de líneas verticales u horizontales, no podrás, es imposible, cada línea es pareja con otra.

Concluyendo, la idea sería situar el lápiz en un punto, preferiblemente cerca de los ‘3s’ y ‘0s’ y esquinas, y trazar un camino único y sin levantar el lápiz cumpliendo los enunciados anteriores, hasta que sea posible. Después se tendrá que levantar el lápiz y abordar el problema desde otro punto, y así en adelante, para finalizar uniendo todos los trazos.

Si surge cualquier duda, algo que no se entienda... comentadlo. Otros pasatiempos lógicos presentados aquí:

Agradezco a JaeT32 por los enlaces y su información en su página Su.Doku.es.

domingo, 29 de abril de 2007

Modelo atómico

El modelo atómico actual resulta más complejo que sus predecesores, aunque sigue aceptando la existencia de un núcleo central (donde se concentra toda la masa) y de unos niveles o capas de energía en los que se encuentran los electrones. Recordar también que las órbitas de los electrones pueden ser circulares o elípticas.
-
Dentro del átomo los electrones se están moviendo a gran velocidad del modo, que si se superponen varias fotografías que muestren la posición de uno de estos electrones en cada instante se obtendría lo que se ha dado en llamar nube electrónica.
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Para cada electrón, la nube electrónica no tiene la misma densidad en todo el átomo. Esto nos indica que el electrón se encuentra con más frecuencia en unos lugares que en otros. Definición:
-
Se llama orbital (que es distinto del concepto de órbita) a la zona del átomo dentro de la cual hay una gran probabilidad de encontrar un electrón.
-

Fig. Función de onda de un electrón de un átomo de hidrógeno. Las áreas brillantes corresponden a densidades de probabilidad elevadas de encontrar el electrón en dicha posición.

Los átomos poseen niveles de energía, que a su vez están formados por varios subniveles (órbitas muy próximas entre si, con muy pequeñas variaciones de energía).

Los niveles de energía se denotan por un número cuántico n=1,2,3,... y los subniveles por la notación: s, p, d, f..., que indica el número de orbitales en cada subnivel (s equivaldría a 1, p a 3, d a 5, y así de dos en dos). Dentro de cada nivel existe un número máximo de electrones que nos podemos encontrar, que viene dado por la expresión 2(n^2).

Cualquier orbital de tipo s se representa con una superficie esférica con centro en el núcleo. Los límites de esta superficie esférica definen la región del espacio para la cual la probabilidad de encontrar al electrón es elevada, generalmente superior al 75% en el subnivel s.

Las representaciones gráficas más comunes de los tres orbitales p son idénticas y consisten en dos esferas tangentes en el núcleo. La única diferencia estriba en la orientación de las mismas (según los ejes x, y o z). La probabilidad en este caso es también del 75%.

Las representaciones de los demás subniveles las podéis encontrar aquí.

MECÁNICA CUÁNTICA:

Y a partir de aquí surge la mecánica cuántica, conocida también como mecánica ondulatoria o física cuántica, que estudia el comportamiento de la luz y la materia a escalas atómicas. El concepto de partícula "muy pequeña" atiende al tamaño en el cual comienzan a notarse efectos como la imposibilidad de conocer con exactitud la posición de una partícula.


En este mundo, la materia puede estar en dos lugares al mismo tiempo; los objetos se comportan a la vez como partículas y como ondas (una extraña dualidad descrita por la ecuación de onda de Schrödinger), y nada tenemos seguro: el mundo cuántico funciona a base de probabilidades.


Más información en wikipedia o en el blog Sechura.

sábado, 28 de abril de 2007

LógicaMente II

El guarda nocturno del Hotel Internacional entretiene sus largas horas de vigilancia planteando problemas de lógica, en los que se entremezclan los nombres, nacionalidades, profesiones y números de habitación de algunos huéspedes. Acepte el reto intelectual del ingenioso vigilante, y consiga identificar a cada huésped sabiendo que:

HUÉSPED......NACIONALIDAD......PROFESIÓN......Nº DE HABITACIÓN
---------------------------------------------------------------101
---------------------------------------------------------------201
---------------------------------------------------------------301
---------------------------------------------------------------405
  1. La habitación del FÍSICO está justo encima de la del SENEGALÉS; son los señores GRUESO Y ALTO, pero no sabemos en que orden.
  2. El MATEMÁTICO se aloja un piso más abajo que el CANADIENSE; son los señores MUSTIO y BAJO, pero tampoco sabemos en que orden.
  3. El FINÉS se hospeda dos pisos más arriba que el QUÍMICO, y el CHINO dos más abajo que el señor MUSTIO, que es el INFORMÁTICO.
  4. El QUÍMICO se queja de que el señor ALTO no le deja dormir y, a veces, golpea el techo con el bastón.

jueves, 26 de abril de 2007

Coincidencias en las vidas de Lincoln y Kennedy


Hace poco me enteré de las enormes coincidencias que hay entre las vidas de estos dos presidentes norteamericanos, me pareció realmente curioso y aquí os las presento.

Abraham Lincoln y John Fitzgerald Kennedy fueron nombrados congresistas en 1847 y 1947 respectivamente. Lincoln fue elegido presidente en 1860, Kennedy 100 años después.

Medían 1'83 metros y sus apellidos tenían siete letras. Ambos perdieron un hijo durante su estancia en la Casa Blanca. Una semana antes que lo mataran, Lincoln estuvo en Monroe, Maryland. Y Kennedy estuvo con Marilyn Monroe, una semana antes de su muerte.

Sus muertes fueron vaticinadas por videntes. Además el secretario de Lincoln, apellidado Kennedy, y el de Kennedy, apellidado Lincoln, recomendaron no acudir a los lugares donde morirían. Fueron asesinados un viernes, por un disparo en la cabeza y delante de sus mujeres. Booth disparó a Lincoln en el teatro Ford y se refugió en un almacén. Oswald disparó a Kennedy (que viajaba en un coche Lincoln de la casa Ford) desde un almacén y se ocultó en un teatro. Los nombres completos de sus presuntos asesinos, nacidos en 1839 y 1939, suman quince letras cada uno, eran sureños y fueron asesinados horas después de los asesinatos -sin haber confesado su culpabilidad- por dos vengadores.

Sus sucesores Andrew Johnson y Lindon Johnson ( con nombres de seis letras) eran senadores, demócratas del sur y nacieron, el primero, en 1808 y, el segundo, en 1908.
¿Es todo mera casualidad?

Más información en Pasarmiedo.

martes, 24 de abril de 2007

La paradoja de Ellsberg

En una urna hay 90 bolas:

  • 30 son rojas.
  • 60 son negras y amarillas, no se sabe en que proporción.

Ahora tiene que elegir una de las siguientes opciones:

1.a) Si saca una bola roja le doy 100 euros.
1.b) Si saca una bola amarilla le doy 100 euros.
Tómese su tiempo. ¿Ha elegido ya? Si es así, considere esta nueva
propuesta:

2.a) Si saca una bola roja o negra le doy 100 euros.
2.b) Si saca una bola amarilla o negra le doy 100 euros.

Agradecería que comentarais simplemente vuestra elección en cada propuesta.

(Actualización)

En los comentarios se han mostrado soluciones de todos los tipos. Cuando se les pregunta a los sujetos de estudio (donde se ofrece dinero de verdad como en “el juego del ultimátum“), la mayor parte de la gente elige la opción 1.a) y 2.b), pero esta elección contiene una contradicción:

Eligiendo 1.a) estamos suponiendo implícitamente que hay más bolas rojas que amarillas, mientras que la elección de 2.b) significa que creemos que hay más amarillas que rojas.

Lo que ocurre en la paradoja de Ellsberg es que la gente se ve atraída por la “tranquilidad” que supone un conocimiento completo de la situación. En el primer caso sabemos que eligiendo a), tenemos una probabilidad del 30% de ganar 100 €, mientras que la opción b) es incierta y con ella no podemos ni siquiera evaluar las probabilidades de ganar. En el segundo caso pasa lo mismo: sabemos seguro que con la opción b) la probabilidad de ganar es del 60%, mientras que no podemos evaluar esa probabilidad para la opción a).

La paradoja de Ellsberg muestra otro rasgo interesante, como cita Jose en los comentarios, de nuestra relación con el riesgo: tratamos de evitar la ignorancia o, a la hora de evaluar sus consecuencias, tendemos a “ponernos en lo peor”.

viernes, 20 de abril de 2007

Maratón de problemas

Los tres siguientes problemas pertenecen a pruebas individuales presentados, por la Sociedad Asturiana de Educación Matemática "Agustín de Pedrayes" (SADEM) en diversas convocatorias.

1) ¡MENUDOS IMPUESTOS!:
En un perdido país de Oriente Medio, los ciudadanos han de pagar numéricamente el mismo % de impuestos que las rupias que ganan por semana. ¿Cuál será el salario ideal?

2) CAJAS CON BOLAS:
Tenemos tres cajas idénticas. En una hay dos bolas blancas y tiene escrito en la tapa el letrero BB. En otra hay dos negras y pone en la tapa NN. En la tercera, hay una bola blanca y otra negra y la tapa pone BN.
Un incordiante mueve las tapas de modo que ninguna corresponda con su contenido. ¿Cómo podemos saber el contenido exacto de cada una de las tres cajas, sacando una bola de la que elijamos?

3) BATALLÓN DE EXÁMENES:
Tres estudiantes, Antonio, Berta y Carlos participan en una serie de pruebas de Matemáticas. En cada prueba, el que queda primero recibe X puntos, el segundo recibe Y puntos y el tercero Z puntos, siendo X, Y, Z números enteros mayores que cero y tales que X>Y>Z. No hay empates. En total Antonio acumuló 20 puntos, Berta 10 puntos y Carlos 9 puntos. Antonio quedó el segundo en la prueba de Álgebra. ¿Quién quedó segundo en la prueba de Geometría?

Tendréis que hacer uso de vuestro ingenio para resolverlos. Espero vuestras respuestas ¡Suerte!

jueves, 19 de abril de 2007

El efecto Magnus

El efecto Magnus, descrito por primera vez por el físico alemán Heinrich Magnus en 1853, es el fenómeno físico por el cual la rotación de un objeto afecta a la trayectoria del mismo a través de un fluido, frecuentemente aplicado al aire.

Es muy usado por deportistas en deportes de pelota (fútbol, rugby, golf, tenis, ping-pong...), para conseguir lo que se suele llamar un tiro con efecto, es decir que la pelota consiga una trayectoria ligeramente circular (vista desde arriba). Esto hace posible en el fútbol el gol directo de saque de esquina.

(Actualización)

En la imagen se ve una pelota vista desde arriba que se desplaza hacia la derecha ( la corriente de aire tiene sentido hacia la izquierda) y rota sobre su eje en el sentido de las agujas del reloj. La velocidad del aire en el punto más bajo aumenta debido al arrastre de giro. Mientras que en el punto superior el giro se opone a la corriente de aire y la frena. De acuerdo con el efecto Venturi, a causa de la diferencia de velocidades, en el punto más bajo se crea una pérdida de presión respecto del punto más alto que provoca una fuerza perpendicular al eje de rotación y a la dirección de la corriente de aire, e impulsa a la pelota hacia abajo.

En golf esto es tan importante que las pelotas de golf se hacen con unos hoyuelos en su superficie para aumentar la fuerza sustentadora (y conseguir una mayor elevación) de una pelota a la que se ha comunicado un giro hacia atrás.

También:

martes, 17 de abril de 2007

¿Quién ha ganado dos veces el Premio Nobel?

La polaca Marja Sklodowska se convirtió en Marie Curie al casarse en 1895 con el también científico Pierrre Curie. En 1903 compartió con su marido y con Antoine-Henri Becquerel el Premio Nobel de Física por el descubrimiento del polonio-nombre procedente de su país natal- y el radio.

Fue la primera mujer en obtener el preciado galardón, honor que repitió en 1911, en esta ocasión el de Química, gracias a sus investigaciones sobre el radio y sus compuestos. Murió en el año 1934 como consecuencia de las largas exposiciones a la radiación.

Y además su hija Irène Joliot-Curie también obtuvo el Nobel de Química en 1935.
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Actualización 14 de octubre de 2007:
Una distinción compartida con John Bardeen, galardonado con el Premio Nobel de Física del año 1956 y 1972; Linus Carl Pauling, ganador del Premio Nobel de Química en 1954 y el Premio Nobel de la Paz en 1962; y Frederick Sanger, ganador del Premio Nobel de Química en dos ocasiones en 1958 y 1980.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/John_Bardeen"

domingo, 15 de abril de 2007

Juego del Go

Se presentan aquí las las instrucciones de juego del Go, para que comencéis a disfrutar jugando. En el próximo post acerca del Go aparecerán conceptos técnicos básicos como: los bastiones, los ojos, el ko, el seki...
Leer introducción: El fascinante juego del Go.

Cómo se juega:
El Go es un juego de tablero para dos jugadores. Un jugador usa las fichas blancas y el otro las negras. El tablero común de Go (ver imagen) es una cuadrícula con diecinueve líneas verticales y diecinueve horizontales. Se aconseja empezar jugando en un tablero de 9x9, de ahí pasar a 13x13 y finalmente a 19x19. La ventaja de usar tableros más pequeños es que las partidas son más breves, facilitando el aprendizaje.

El juego:
Al inicio de la partida el tablero está vacío. Negro hace la primera jugada. Una jugada consiste en poner una piedra, solo una por turno, en una intersección vacía. Las piedras no pueden desplazarse a otro lugar una vez colocadas.

Objetivo del juego:
Conseguir más puntos que el contrario. Se cuentan los puntos de dos maneras: ocupando territorio y capturando fichas enemigas. Utilizar las piedras propias para controlar la mayor parte de territorio rodeando regiones vacías del tablero es el factor más importante; realizar capturas es secundario.

Cadena:
Si dos piedras o más de un mismo color son adyacentes (están alineadas), todas ellas forman una cadena. En el Go no existen conexiones diagonales.

Libertades:
Se llaman libertades a los puntos no ocupados que se encuentran horizontal y verticalmente adyacentes a una piedra o grupo de piedras. Las piedras adyacentes (cadena) comparten entre sí sus libertades.

La captura:
Cuando un jugador hace una jugada que quita la última libertad a un grupo enemigo, saca éste del tablero y guarda las piedras aparte hasta el final de la partida. En ocasiones no es necesario capturar una cadena, basta con que no se prive de su última libertad , si no que se la haga prisionera (el jugador puede optar por hacer movimientos más importantes). Al final del juego se cuenta como capturada y es retirada del tablero.

-En la imagen de más a la izquierda aparecen varios ejemplos de grupos negros que se encuentran con una sola libertad (atari). Si coloca blanco en las intersecciones con círculos, captura a las piedras negras, quedando la situación como en la otra imagen.

Restricciones:
No está permitido hacer una jugada que quite la última libertad a uno de los propios grupos (suicidio), excepto cuando esta jugada capture una o más piedras enemigas.

-En la primera blanco no puede colocar en a, b o e, pues sería suicidio. En la siguiente es negro quien no puede colocar en a, b o e. La tercera es el resultado si blanco captura las piedras negras.

Final del juego:
Llega un momento en toda partida en el que los territorios quedan delimitados y ya no se obtiene ningún beneficio en colocar fichas en el territorio propio (solo se conseguiría reducirlo), mientras que un movimiento en territorio enemigo sería darle un prisionero. Es entonces cuando los dos jugadores pasan consecutivamente y la partida termina. Finalmente se realiza el recuento.

-Resultado final de una partida. Las intersecciones con un círculo pertenecen al jugador Negro,las que tienen una equis al Blanco. Las intersecciones con un triángulo son neutrales ya que no están rodeadas completamente por ninguno de los dos jugadores. Negro consigue 22 puntos de territorio, Blanco 15. A Blanco se le añaden entre 6,5 y 4,5 puntos de komi ( adicionales) porque empezó jugando Negro. Si Blanco hubiese capturado 3 o más piedras que Negro hubiese ganado.

¿Listo para jugar en...?

Fuentes consultadas:

viernes, 13 de abril de 2007

Familias de poliedros

Se presentan algunos de los tipos de poliedros que existen, de forma breve e introductoria. Se realiza además una clasificación y descripción básica, así como el proceso de formación. Se recomienda acceder a los enlaces para visualizar los poliedros. (Actualización)

Sólidos platónicos: Son los más conocidos y los únicos regulares y convexos a la vez. Existen cinco: Tetraedro (existe un interesante artículo dedicado al tetraedro publicado recientemeente en gaussianos), Cubo, Octaedro, Dodecaedro y Icosaedro.
Los demás sólidos se generan a partir de estos.

Sólidos de Kepler-Poinsot: Son también regulares pero cóncavos. Se logran a partir de adiciones sobre las caras de los sólidos platónicos. Existen cuatro: pequeño dodecaedro estrellado (imagen), gran dodecaedro estrellado, gran icosaedro y gran dodecaedro.



Sólidos arquimedianos: Son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes pero no de caras uniformes. Se obtienen truncando (cortando por los vértices) los sólidos platónicos. El truncamiento se suele hacer a 1/3 de las aristas. Son simétricos salvo el Snub cube.

Son 11: tetraedro truncado, cuboctaedro, cubo truncado(imagen L), octaedro truncado, rombicuboctaedro, cuboctaedro truncado, icosidodecaedro(imagen R), dodecaedro truncado, icosaedro truncado, rombicosidodecaedro y icosidodecaedro truncado.

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Existen otros como el cubo romo o el dodecaedro romo.

Sólidos duales: Existen de dos tipos y para formarlos:
a) Se calculan los puntos medios de las caras de los sólidos platónicos (1) Se unen los puntos y se genera un nuevo sólido platónico. De modo que el número de caras del sólido original pasan a ser el número de vertices del sólido generado. Tras realizar estas operaciones en un:

  • Tetraedro se genera otro tetraedro más pequeño, ya que tiene 4 caras y 4 vértices.
  • Cubo (6 caras) se genera un octaedro (6 vértices)
  • Octaedro (8 caras) se genera un cubo (8 vértices)
  • Dodecaedro (12 caras) se genera un icosaedro (12 vértices)
  • Icosaedro (20 caras) se genera un dodecaedro (20 vértices)

b) Se inscribe el sólido platónico en una esfera. Se realiza de nuevo (1), se calcula el centro del poliedro y luego los puntos de corte en la superficie de la esfera con la prolongación de la recta que pasa por el centro y cada punto medio de las caras. Se une cada punto de corte con los vértices de la cara que le corresponde. Se obtiene algo similar a los sólidos de Kepler pero con una determinada proporción.

Sólidos de Johnson: Son 92. La mayor parte de los poliedros de Johnson son derivados de los sólidos platónicos y de los arquimedianos agregando o quitando pedazos. En ocasiones se cogen dos polígonos regulares, por ejemplo dos cuadrados iguales, se sitúan a una cierta distancia paralelos, se gira uno de ellos , en este caso 45º, y se une cada uno de los vértices superiores con los dos que tiene debajo. Y Finalmente se añade en cada cara cuadrada una pirámide. Resultado: Han quedado sin tratar entre otros grupos los sólidos de Catalan o los deltaedros.

En Wolfam MathWorld podéis encontrar la mayor colección de poliedros en la red tratados uno a uno con aplicaciones java, plantillas, descargas, laboriosos cálculos, curiosidades...

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