domingo, 1 de julio de 2007

Infinitas incógnitas

Hace poco en Gaussianos apareció la siguiente cita tomada del libro "INFINITUM. Citas matemáticas" :

Ningún pensamiento como el del infinito ha turbado tan profundamente el espíritu humano, ni ninguna otra idea ha estimulado tan intensamente su intelecto.
David Hilbert
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El comentario de G (su blog: Fermat Margin) en la entrada anterior hizo que me acordara de un interesante problema en el que aparecen infinitas equis. Pese a que resulta difícil de imaginar es mucho más fácil de lo que parece.
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Se trata de calcular el valor de x en la ecuación:



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Y aquí una interesante variante:
--

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¡Suerte a tod@s! Mismo problema tratado con más profundidad en una entrada de Gaussianos.

Actualización (4 de julio de 2007): Semejanza de las dos ecuaciones anteriores con la representación mediante raíces anidadas del número aúreo.

El número aúreo es la solución a la ecuación:

--ç
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Si despejamos el término cuadrático tomando luego raíces, nos queda:
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Si ahora sustituimos el φ del radicando por su valor que se corresponde a la raíz completa y repetimos el proceso indefinidamente pasamos de:
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¿Bonito verdad? Más en Epsilones Fórmulas.

7 comentarios:

Jorge dijo...

Es muy fácil: en el primero, x=6, en el segundo x=0 y x=2.

Sable dijo...

Exacto Jorge ;)

Que lío tengo con las horas que la entrada se ha publicado a las 12:54 y tu comentario 49 minutos antes. Récord absoluto.

Dejémoslo sin explicar de momento y veremos si a los demás les resulta tan sencillo.

Un saludo!

G dijo...

para demostrar el segundo se puede utilizar la fórmula de Viete (es decir, el producto infinito tiende a 2/pi, con lo cual cada factor tiene que tender a 1)

Rodrigo dijo...

Oi, achei teu blog pelo google tá bem interessante gostei desse post. Quando der dá uma passada pelo meu blog, é sobre camisetas personalizadas, mostra passo a passo como criar uma camiseta personalizada bem maneira. Até mais.

Joyce dijo...

Hace rato que no visitaba tu página, lástimna porque siempre me entretiene bastante, bueno el primero estuvo fácil, 3 = Raíz de 9, así que 9 = x + (Raíz de x + (raíz de x)) etc, pero como (Raíz de x + (raíz de x)) = 3, tons 9 = x + 3, entonces x = 6. Igual y está de más explicarla pero para una inexperta como yo está interesantes

Para el segundo, rápido me saltó el cero y pensé que era la única respuesta, hasta ahorita veo que tmb puede ser 2, y con las demás ya ni me meto porque no entiendo.

Sable dijo...

Está muy bien Joyce. Me alegro de tu vuelta :)

Si se me permite copio aquí el comentario de mimetist en Gaussianos acerca del mismo problema, y en el que realiza una atenta observación, ampliando las soluciones del segundo caso:

"La segunda opción tiene también soluciones complejas. Depende de cómo se realice la descomposición.

Si la hacemos de manera que:
x = sqrt(x+x) , tenemos que
x² = 2x
x = 2

Pero si la hacemos cogiendo tres “x” a la derecha, obtenemos:
x = sqrt(x+sqrt(x+x))
x² = x + sqrt(2x)
(x² - x)² = 2x

x^4 - 2x³ + x² - 2x = 0
x(x³ - 2x² + x -2) = 0

de donde obtenemos las soluciones:

x = 0
x = 2
x = i
x = -i

Las soluciones del segundo caso no son tan simples como parece a primera vista "

sexy dijo...

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