domingo, 20 de mayo de 2007

Maratón de problemas II

1) ANA, BETTY Y CAROLINA
Se seleccionan 3 dígitos al azar distintos de 0. Se pega uno de esos tres dígitos en la frente de Ana, otro de los dígitos en la frente de Betty y el último dígito en la frente de Carolina, de tal modo que ninguna de las niñas vea el dígito que ella misma tiene en su frente. Además las niñas están en cubículos con vidrios especiales de tal modo que Ana puede ver a Betty y a Carolina, mientras que Betty solo puede ver a Carolina y Carolina solo a Betty. El objetivo para cada niña es deducir cuál es el dígito que lleva en la frente. El juez les informa que el número formado por los dígitos que tienen Ana, Betty y Carolina, en ese orden, es un cuadrado perfecto. Suponiendo que las tres llevan a cabo un razonamiento lógico.

Después de esto Ana dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".
En seguida Betty dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".
Finalmente, Carolina dice: "Yo sí se cuál es mi dígito".

¿Cuál es el dígito que Carolina tiene en la frente?


2) CUMPLEAÑOS DE PABLO, MARÍA Y JUAN
Pablo, María y Juan celebran hoy los tres sus cumpleaños. Sus edades son diferentes. Pablo es el más joven de los tres, tiene cuatro años menos que Juan, el mayor. A los tres les encanta jugar con los números. Calculan todas las distintas sumas de dos y tres números entre sus edades. Sumando todas esas sumas obtienen un primer resultado. Calculan después todas las diferencias positivas entre sus edades, a continuación suman esas diferencias y obtienen un segundo resultado. Dividen el primer resultado entre el segundo, y cosa curiosa, se obtiene la edad de Juan.

¿Cuál es la edad de Juan?

!No! No faltan datos. Suerte a tod@s y a hacer uso de vuestro cálculo e ingenio

16 comentarios:

Lobo dijo...

¡Tres hurras por Carolina! Es la mejó por haberlo sacado, es la número uno ¡Viva Carolina! xDDDD

Sable dijo...

Jeje. Bien Carolina bien, aunque si hubiese sido Betty o Ana la que contestase en tercer lugar también lo hubieran sabido. Cuestión de suerte. XDDDD

Y yo me sigo preguntando...
¿Cuál es el dígito que Carolina tiene en la frente?

Lobo dijo...

Bueno, creía que era evidente la broma, pero a lo mejor no. El número que tiene en la frente es el 1... ¡es la número uno xD!

Perooo si el cuadrado perfecto es por ejemplo 441, 841, 361 o 961 ¿Cómo van a saber cuál es su dígito respectivamente Betty o Ana, aunque respondan en tercer lugar?

J0YCE dijo...

Deje un comentario en lo del café y la leche, me gustó mucho ese problemilla y bueno para este post, para el segundo caso, mmm Juan tiene 21 años, cierto?

Sable dijo...

Perdón Lobo :) Intuía la broma, pero este problema lo hice hace tiempo y tenía apuntado otra solución(6) errónea, por lo que no lo había captado. Lo he vuelto a hacer y tienes toda la razón ¡es la número uno xD!. Muy bien.

No me expliqué bien. Me refería a que si el azar hubiese dado el nº de Carolina a Ana, y por tanto cambiaran los órdenes también Ana hubiese sabido cual era su dígito.
Nada que tantos trabajos y deberes me atrofian la mente :)

Lobo dijo...

Jeje ok, entendí mal lo de intercambiarse...
Yo también tengo la mente un poco atrofiada últimamente U_u

Saludos!

Sable dijo...

Ultimamente ando liado y no tengo mucho tiempo para el blog, lo siento.

El 2) sí lo volví a resolver hace unos días, y tengo una solución válida (casi seguro la única) y no es 21 la edad de Juan. Lease bien el problema (no quiero decir con esto que haya trampa).

Interesante la cuestión planteada por Joyce en el problema de "la leche y el café" referente al mismo. Podéis verla aquí(http://criptociencia.blogspot.com/2007/04/tres-pequeos-acertijos.html)

Saludos!:)

Cosus dijo...

En efecto Carolina es la numero 1... y me da q el campeon de Juan tiene 7 añitos, feliz cumpleaños

Anónimo dijo...

En el 2, ¿TODAS las sumas, también implica sumar un número más sí mismo?, y en el caso de las diferencias si pretendemos tomar en cuenta TODAS las diferencias positivas entonces ¿a un número podríamos restarle la diferencia entre otros? Por ejemplo Edad de María-(edad de María-edad de Pablo) o Edad de María -(edad de de Juan- (edad de María-Edad de Pablo), creo que en esos casos la diferencia es positiva y ¿cómo saber cuando parar?

Sable dijo...

A ver si nos ponemos de acuerdo en lo que significa "Calculan todas las DISTINTAS sumas de dos y tres números entre sus edades"
Esto es, tenemos tres edades:
p m j
Todas las sumas diferentes son:
p+m+j
p+m
p+j
m+j
Ni más ni menos. Tener en cuenta que m+j=j+m (propiedad conmutativa)

"Calculan después todas las diferencias positivas entre sus edades"
Sabemos que j>m>p

Todas las diferencias POSITIVAS son:
j-m
j-p
m-p
y determinar si j-p-m puede ser positivo con los datos del problema. Para no complicarlo más ya os digo yo que j-p-m NO ES POSITIVO.

Digamos que no se puede repetir una misma edad en una misma suma o diferencia (no vale m+m+p). Y no se pueden combinar sumas y diferencias, sino que primero se calculan unas y después otras.

Espero que haya quedado ahora más claro :)

Sable dijo...

No es 7 la solución.

Aunque últimamente no hago más que equivocarme. La edad de María puede ser o bien un año menos que Juan, dos menos o tres menos, ya que es menor que juan pero mayor que Pablo.

Dependiendo de que escojamos una de estas nos salen TRES SOLUCIONES posibles. Y una de ellas es la que dijo Joyce 21 años tiene Juan, y Pablo tendría 17 y María 18. La "suma de todas las sumas" es 168 y la "suma de todas las diferencias" es 8. El cociente es efectivamente la edad de Juan 21.

A ver si encontrais las otras dos edades posibles de Juan. Y a ver si alguien puede publicar el desarrollo del problema, sino ya lo hago yo.

Disculpas de nuevo.

Cosus dijo...

JEJEJE, Menuda gambada... estaba en el cuartel con los compañeros esta mañana retandoles a resolver el ejercicio... cuando me he dado cuenta de la cagada q hice ayer... en fin, tenia la esperanza de enmendar mi error... pero Sable se me ha adelantado, en fin, seguiremos trabajando...

Joyce dijo...

Hola, Gracias por la visita.
De verdad me hiciste creer que estaba mal y trate de resolverlo de nuevo, estuve un buen rato tratando de encontrar el error, intenté otras cosas, pero entonces creo que esas están mal y lo que hice en un principio está bien, y lo primero que hice fue justo lo que describías arriba, así llegué a

(3(j-4)+3m+3j)/(j-(j-4))+(j-m)+(m-(j-4))=j

Tomando en cuenta que Pablo es 4 años menor a Juan

y al final encontré que María tiene 2/3 de la edad de J + 4.

Y la verdad después fue puro tanteo, y encontré el 21, pero luego noté que hay otros números que también ajustan, ahora creo que la mejor forma de hacerlo es sustituyendo m, igual que p, pero con 1, 2 y 3 años de diferencia, para encontrar las tres soluciones.

Bueno y ya que me extendí aprovecho:

1) Creo que haciendo combinaciones si hay positivos, j-m-p NO ES POSITIVO, pero j-(m-p) SI ES POSITIVO.

2)¿Liado quiere decir, sólo ocupado o con muchos problemas? Perdón, curiosidad internacional.

Cualquier error, me dicen.

Sable dijo...

Bueno vamos con la resolución.
Tenemos que:
j>m>p

Tener en cuenta que siempre que se pueda se irá sustituyendo p=j-4

y m=j-k, con k=1,2 ó 3

Todas las combinaciones de sumas:
j+m
j+p
m+p
j+m+p
Suma=3(p+m+j)=3(j-4+m++j)=6j+3m-12

Todas las combinaciones de restas positivas:
j-p
j-m
m-p
Suma=2j-2p=2j-2(j-4)=8
---------------------------------
[1] Si j-m-p>0 entonces j-m-j+4>0; m<4. Surgen tres combinaciones
Suma de las tres combinaciones de diferencias:
(j-p)+(j-m)+(m-p)+(j-m-p)=
3j-3(j-4)-m=12-m

Suma de las combinaciones de sumas:
La misma que al principio 6j+3m-12

Cociente e igualando a j según el enunciado:
(6j+3m-12)/(12-m)=j
Operando
6j+3m-12=12j-mj; 6j-mj-3m+12=0
Sutituyendo m=j-1, nos sale la ecuación j^2-4j-15=0 que no tiene soluciones naturales. Lo mismo pasa si sustituimos m=j-2 y m=j-3.

Por lo que si existen soluciones estan no satisfacen que j-m-p>0.
---------------------------------

Volviendo a lo anterior el cociente es:
(6j+3m-12)/8=j
Operando:
2j-3m+12=0
a)m=j-1; 2j-3j+3+12=0; j=15
b)m=j-2; 2j-3j+6+12=0; j=18
c)m=j-3; 2j-3j+9+12=0; j=21

Dependiendo de la diferencia entre la edad de María y Juan tenemos tres valores para la edad de Juan 15,18 y 21

Sable dijo...

Contesto a Joyce:

1) Creo que haciendo combinaciones si hay positivos, j-m-p NO ES POSITIVO, pero j-(m-p) SI ES POSITIVO. Camuflando j-m+p( no vale) como j-(m-p) si. El número de convinaciones se ve mejor imaginando tres conjuntos diferentes obtener todas las combinaciones entre ellos, y alternar signos + ó -(solo de un tipo) entre ellos y ver cuales son positivos.

2)¿Liado quiere decir, sólo ocupado o con muchos problemas? Perdón, curiosidad internacional.
Jeje, por suerte solo muchos exámenes y trabajos acumulados :) Por eso es posible que el blog esté un poco más desatendido estas dos semanas finales de curso.

sexy dijo...

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