domingo, 24 de junio de 2007

Álgebra recreativa

Respuesta al problema 6) de Encuentra el número II. Todos hemos advertido que al multiplicar por si mismo varios números terminados en 1 ó 5, el producto acaba en la misma cifra. Menos conocido, aunque llegamos al mismo resultado para todo número acabado en 6. Por ello toda potencia de un número acabado en 6 termina asimismo en 6.
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3786^258 termina en 6, 35^7233 termina en 5, 3241^132 termina en 1 etc.
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Esta curiosa propiedad de las cifras 1, 5 y 6 (abstenemos al 0) puede ser fundamentada algebraicamente, pero pasaremos a analizar casos mas complejos tras los cuales no tendréis dificultad para demostrar los casos sencillos.
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Hay números de dos cifras que también tienen la misma propiedad que las cifras 1, 5 y 6. Nos referimos a los números 25 y sorprendentemente 76. La demostración es como sigue. Aprovechando nuestro sistema de numeración decimal expresemos dos números terminados en 76 de la siguiente manera:
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100a + 76, 100b + 76
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Multipliquemos entre si y obtendremos tras operar:
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10.000ab + 7600b + 7600a + 5776 =
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= 10.000ab + 7600b + 7600a + 5700 + 76 =
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= 100 * (100ab + 76b + 76a + 57) + 76
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De esto se desprende que toda potencia de un número (o producto de dos números) acabado en 76, termina en también en 76. Por ejemplo: 376 ² = 141.376, 576 ³ = 191.102.976, etc.
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Existen también grupos de números con mayor cantidad de cifras que, al figurar al final de los mismos, aparecen también en su producto. El número de tales grupos de cifras es infinitamente grande.
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Conocemos ya dos grupos compuestos de dos cifras, que poseen propiedad análoga: el 25 y el 76. Para encontrar grupos semejantes con tres cifras hay que colocar delante del 25 o del 76 una cifra tal que nos dé un grupo de tres guarismos con la misma propiedad. Expresemos tal cifra con k. El número de tres cifras buscado se expresa como:
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100k + 76
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Se toman los números de una cifra más, de la misma forma:
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1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76
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Multiplicando dos números de este tipo entre sí y organizando, obtendremos:
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1.000.000ab + 100.000ak + 100.000bk + 76000a +
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+ 76.000b + 10.000k 2 + 15.200k + 5.776
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Todos los sumandos, menos los dos últimos, terminan, por lo menos, en tres ceros. Si el número anterior acaba en 100k + 76 (cosa que hemos supuesto en un principio) se ha de cumplir que la diferencia
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15.200k + 5.776 - (100k + 76) = 15.100k + 5.700 =
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= 15.000k + 5.000 + 100 (k + 7)
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se divide entre 1.000 sin dejar resto. Esto, evidentemente, ocurre cuando k sea igual a 3. Así pues, el grupo de cifras buscado es 376. A esto se debe que toda potencia de 376 termine en dicho número. Por ejemplo: 376 ² = 141.376.

Si nos interesa hallar un grupo de cuatro cifras que tenga la misma propiedad, debemos colocar delante de 376 una cifra más. Si expresamos esta cifra con L, se nos plantea el siguiente problema: ¿ Cuál debe ser la cifra L para que la multiplicación
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(10.000a + 1000L + 376) * (10.000b + 1.000L + 376)
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termine en 1.000L + 376? Si abrimos los paréntesis de esta multiplicación y prescindimos de todos los factores que terminan en cuatro ceros o más, nos quedará
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752.000L + 141.376
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La multiplicación termina en 1.000L + 376 si la diferencia
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752.000L + 141.376 - (1.000L + 376) =
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= 751.000L + 141.000 =
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= (750.000L + 140 000) + 1.000 * (L + 1)
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se divide entre 10.000. Esto, sin duda, tendrá lugar solamente cuando L sea igual a 9. El grupo de cuatro cifras buscado es 9376. El grupo obtenido puede ser completado con una cifra más, para lo cual es preciso seguir idéntico razonamiento. Obtendremos 09.376. Si damos un paso más hallaremos el grupo de cifras 109.376 y, después 7.109.376, etc. Tal adicción de cifras a la izquierda del número puede ser efectuada infinita cantidad de veces.
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Y lo más interesante, aunque resulte raro y abstracto, es que si continuamos sacando más cifras ese "número infinito" satisface la ecuación:
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x ² = x
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Operando sucesivamente con cada una de las cifras del número x ² donde x =... 7 109 376, obtendremos las mismas cifras que teníamos con el número x, por lo cual, x ² = x. Hemos examinado grupos de cifras que terminan en 76. Si se aplica el mismo razonamiento para grupos de cifras terminados en 5 obtendremos los siguientes grupos de cifras:
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5, 25, 625, 0625, 90625, 890 625, 2 890 625, etc.
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Por ello podemos escribir otro “número infinito”: … 2.890.625, que también satisface la ecuación x ² = x. «Podríamos demostrar que este numero infinito equivale a:
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(((5 ² ) ² ) ² ) ² ) …»
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El interesante resultado obtenido en el “idioma de los números infinitos” se formula de esta manera: la ecuación x ² = x tiene (además de) de x = 0, x = 1), otras dos “soluciones infinitas”
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x = ... 7.109.376 y x = ... 2.890.625;
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sin ninguna otra solución (en el sistema de base diez).
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Fuente: libro "Algebra recreativa" de Yakov I. Perelman

jueves, 14 de junio de 2007

Encuentra el número

Cada letra representa una cifra diferente en cada caso:

1) AABB=(CD)² Hallar un cuadrado de la forma AABB

2) ABCD = (CD)² Hallar un número de 4 cifras que sea el cuadrado de sus dos últimas cifras

3) A²+2=B^3 Hallar un cuadrado que se tranforma en un cubo al sumarle 2 unidades

Encuentra el número II

Aunque por el Último Teorema de Fermat no haya números x, y, z enteros de la forma x^n=z^n + y^n para n>2 y "n natural"( y digo esto último porque al redactar me planteé:

¿existirán nº de la forma anterior en la que n es decimal? Lo digo porque siempre oi que tal personaje probó que no existían nº para n=3... ¿y para n=3,5? Puede que la respuesta sea inmediata, pero no alcanzó ahora a responder ¿Engloba la reciente demostración del Teorema de Fermat los "n decimales"?). Pero sin embargo existen infinitos valores de A, B, C y D que satisfacen:

4) A²+B²+C²=D² La suma de tres cuadrados es otro cuadrado

5) A^3+B^3+C^3=D^3 La suma de tres cubos es otro cubo

6) Y he aquí el que más me gusta (ABC)²=CDEABC Hallar un número de 3 cifras, tal que su cuadrado termine con las mismas 3 cifras, en el mismo orden. Para el caso de una cifra serían el 1, el 5 y el 6, y para el de dos cifras no es muy difícil. Alguien se atreve con 4 cifras, o con 5 cifras... , los resultados son infinitos, pero hace falta expresarlo todo algebraicamente.

Suerte a tod@s!, sería interesante alguna explicación a tantas preguntas que pasan por mi mente ;) De momento creo que es suficiente para mantener vuestras mentes activas.

lunes, 4 de junio de 2007

Las matemáticas en vídeo

Hoy os presento una interesantísima web EDUMATE-PERÚ que muchos ya conoceréis y que hace especial incapié en la educación matemática y su didáctica. Quería destacar su sección de vídeos matemáticos, los más recientes los encontrareis en el margen derecho. Todos, a través de este enlace vídeos-edumate. Los vídeos están muy bien, destacaría los que tratan acerca de la vida y trabajos del gran Euler, donde aparecen algunas citas y resultados de demostraciones igual de ingeniosas de sucesiones como la dada por Leibniz en la entrada anterior. Vídeos:

Aprovecho también para continuar la entrada anterior y responder al comentario de G, con los siguientes sorprendentes resultados:


Series infinitas: Euler logró hallar en 1736 la suma de los recíprocos de los cuadrados, buscada por grandes matemáticos como Jacqes Bernoulli, o "Leibniz que afirmaba ser capaz de sumar cualquier serie, hasta que lo frenó Wallis preguntándole por la suma de 1/n^2", es decir:


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Asimismo logró calcular la suma de los recíprocos de las cuartas y sextas potencias:





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!Es impresionante la importancia de pi y el número de sitios insospechados en los que aparece!

También descubrió el conocido número e y lo relacionó con la suma de los recíprocos de los factoriales:





Y qué decir de la identidad de Euler, cuya demostración es relativamente sencilla, que relaciona los cinco números más importantes de la historia de las Matemáticas. Como dijo en cierta ocasión el matemático Benjamin Peirce a sus alumnos:

"Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad".


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Lo que empezó con la intención de hacer un brevísimo post recomendándoos la web EDUMATE-PERÚ a acabado por enrollarme. Ahora sí, les dejo que he de estudiar que !ya solo queda una semana de exámenes finales de curso en España! ¡Saludos!
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Fuente: Wikipedia

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