domingo, 24 de junio de 2007

Álgebra recreativa

Respuesta al problema 6) de Encuentra el número II. Todos hemos advertido que al multiplicar por si mismo varios números terminados en 1 ó 5, el producto acaba en la misma cifra. Menos conocido, aunque llegamos al mismo resultado para todo número acabado en 6. Por ello toda potencia de un número acabado en 6 termina asimismo en 6.
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3786^258 termina en 6, 35^7233 termina en 5, 3241^132 termina en 1 etc.
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Esta curiosa propiedad de las cifras 1, 5 y 6 (abstenemos al 0) puede ser fundamentada algebraicamente, pero pasaremos a analizar casos mas complejos tras los cuales no tendréis dificultad para demostrar los casos sencillos.
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Hay números de dos cifras que también tienen la misma propiedad que las cifras 1, 5 y 6. Nos referimos a los números 25 y sorprendentemente 76. La demostración es como sigue. Aprovechando nuestro sistema de numeración decimal expresemos dos números terminados en 76 de la siguiente manera:
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100a + 76, 100b + 76
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Multipliquemos entre si y obtendremos tras operar:
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10.000ab + 7600b + 7600a + 5776 =
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= 10.000ab + 7600b + 7600a + 5700 + 76 =
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= 100 * (100ab + 76b + 76a + 57) + 76
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De esto se desprende que toda potencia de un número (o producto de dos números) acabado en 76, termina en también en 76. Por ejemplo: 376 ² = 141.376, 576 ³ = 191.102.976, etc.
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Existen también grupos de números con mayor cantidad de cifras que, al figurar al final de los mismos, aparecen también en su producto. El número de tales grupos de cifras es infinitamente grande.
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Conocemos ya dos grupos compuestos de dos cifras, que poseen propiedad análoga: el 25 y el 76. Para encontrar grupos semejantes con tres cifras hay que colocar delante del 25 o del 76 una cifra tal que nos dé un grupo de tres guarismos con la misma propiedad. Expresemos tal cifra con k. El número de tres cifras buscado se expresa como:
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100k + 76
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Se toman los números de una cifra más, de la misma forma:
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1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76
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Multiplicando dos números de este tipo entre sí y organizando, obtendremos:
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1.000.000ab + 100.000ak + 100.000bk + 76000a +
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+ 76.000b + 10.000k 2 + 15.200k + 5.776
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Todos los sumandos, menos los dos últimos, terminan, por lo menos, en tres ceros. Si el número anterior acaba en 100k + 76 (cosa que hemos supuesto en un principio) se ha de cumplir que la diferencia
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15.200k + 5.776 - (100k + 76) = 15.100k + 5.700 =
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= 15.000k + 5.000 + 100 (k + 7)
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se divide entre 1.000 sin dejar resto. Esto, evidentemente, ocurre cuando k sea igual a 3. Así pues, el grupo de cifras buscado es 376. A esto se debe que toda potencia de 376 termine en dicho número. Por ejemplo: 376 ² = 141.376.

Si nos interesa hallar un grupo de cuatro cifras que tenga la misma propiedad, debemos colocar delante de 376 una cifra más. Si expresamos esta cifra con L, se nos plantea el siguiente problema: ¿ Cuál debe ser la cifra L para que la multiplicación
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(10.000a + 1000L + 376) * (10.000b + 1.000L + 376)
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termine en 1.000L + 376? Si abrimos los paréntesis de esta multiplicación y prescindimos de todos los factores que terminan en cuatro ceros o más, nos quedará
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752.000L + 141.376
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La multiplicación termina en 1.000L + 376 si la diferencia
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752.000L + 141.376 - (1.000L + 376) =
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= 751.000L + 141.000 =
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= (750.000L + 140 000) + 1.000 * (L + 1)
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se divide entre 10.000. Esto, sin duda, tendrá lugar solamente cuando L sea igual a 9. El grupo de cuatro cifras buscado es 9376. El grupo obtenido puede ser completado con una cifra más, para lo cual es preciso seguir idéntico razonamiento. Obtendremos 09.376. Si damos un paso más hallaremos el grupo de cifras 109.376 y, después 7.109.376, etc. Tal adicción de cifras a la izquierda del número puede ser efectuada infinita cantidad de veces.
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Y lo más interesante, aunque resulte raro y abstracto, es que si continuamos sacando más cifras ese "número infinito" satisface la ecuación:
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x ² = x
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Operando sucesivamente con cada una de las cifras del número x ² donde x =... 7 109 376, obtendremos las mismas cifras que teníamos con el número x, por lo cual, x ² = x. Hemos examinado grupos de cifras que terminan en 76. Si se aplica el mismo razonamiento para grupos de cifras terminados en 5 obtendremos los siguientes grupos de cifras:
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5, 25, 625, 0625, 90625, 890 625, 2 890 625, etc.
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Por ello podemos escribir otro “número infinito”: … 2.890.625, que también satisface la ecuación x ² = x. «Podríamos demostrar que este numero infinito equivale a:
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(((5 ² ) ² ) ² ) ² ) …»
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El interesante resultado obtenido en el “idioma de los números infinitos” se formula de esta manera: la ecuación x ² = x tiene (además de) de x = 0, x = 1), otras dos “soluciones infinitas”
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x = ... 7.109.376 y x = ... 2.890.625;
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sin ninguna otra solución (en el sistema de base diez).
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Fuente: libro "Algebra recreativa" de Yakov I. Perelman

6 comentarios:

koinor dijo...

Muy interesante...pero se ve que estabas muy aburrio ¿no?

G dijo...

están buenos los problemas. El tema tiene mucha matemática dura detrás, nada sencilla. Por ejemplo, define la función f(x) = x^x^x^x^..., y ahora calcula su dominio. O intenta resolver f(x) = a, que conduce a paradojas interesantes.

(hace muy poco ví algo así en un weblog, pero no recuerdo en cual, estuve visitando muchos y agregando nuevos en los links; si encuentro en cual fue indico el post)

Sable dijo...

Siempre fue un problema que me entretuvo Koinor, yo... aburrido... un poco... sí... XD

Hola G: Cierto hay que tener mucho cuidado con f(x) = x^x^x^x^...(«Podríamos demostrar que este numero infinito equivale a:
(((5 ² ) ² ) ² ) ² ) …»)
Cuando lo puse en la entrada lo saqué literalmente de un fragmento del libro y lo puse entre comillas ya que es algo con lo que tampoco había trabajado demasiado, resulta complicado de imaginar.

Gracias por vuestra atención ;)

Anónimo dijo...

Gracias, buen trabajo! Este fue el material que tenía que tener.

FRANCISCO dijo...

He utilizado este resultado para solucionar el siguiente desafío planteado el el periódico el País.
http://tresypino.blogspot.com/2011/05/9-desafio-matematico.html
Muy interesante el blog lo acabo de descubrir.

promptessay.com dijo...

The postings on your site are always excellent. Thanks for the great share and keep up this great work!:)

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