Demostraciones ingeniosas

Son muchas las cuestiones matemáticas, y muchas las demostraciones extensas y aquellas para las que se necesitan conocimientos muy avanzados para solamente comprenderlas, sirvan de ejemplo la conjetura de Fermat y la conjetura de Poincaré, recientemente demostradas y convertidas en teoremas. Pero existen otro tipo de demostraciones igual de admirables, aquellas en la que no privan los conocimientos sino el ingenio. De esto tenían mucho Leibniz y Sofía Germain, y qué decir del gran maestro Euler.
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Teorema de Sofía Germain
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He aquí un problema propuesto por Sofía Germain, conocida matemática francesa: Demuéstrese que los números del tipo a ^4 + 4 son compuestos, (con la condición de que a sea distinto de 1). Aclaraciones: compuesto es lo contrario de primo. a^4=a · a · a · a se transcribe como "a" elevado a la cuarta potencia.
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a ^4 + 4 = a ^4 + 4(a ^2) + 4 - 4(a^ 2) = (a ^2 + 2) ^2 - 4(a ^2) =

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= (a ^2 + 2) ^2 - (2a) ^2 = (a ^2 + 2 - 2a) · (a^ 2 + 2 + 2a)

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De aquí se desprende que, todo número de la forma a ^4 + 4 puede ser expresado en forma de dos factores que no sean iguales ni a él ni a la unidad, es decir, no puede ser un número primo.

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Demostración de Leibniz

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Cuando llegó Leibniz a París aún sin una base matemática sólida, le pidió a Huygens que le introdujeera en los círculos matemáticos del momento. Para evaluar la capacidad de Leibniz se le propuso el siguiente problema: calcular la suma de infinitos términos de los números triangulares.

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Leibniz dio la respuesta de forma ingeniosa. Calculó, no la suma, sino su mitad:

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1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =

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=(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... =

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= 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1

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Luego S = 2

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Las autoridades matemáticas abrieron las puertas de par en par a Leibniz y tal vez gracias a ello pudo nacer el cálculo diferencial e integral.