miércoles, 30 de mayo de 2007

Demostraciones ingeniosas

Son muchas las cuestiones matemáticas, y muchas las demostraciones extensas y aquellas para las que se necesitan conocimientos muy avanzados para solamente comprenderlas, sirvan de ejemplo la conjetura de Fermat y la conjetura de Poincaré, recientemente demostradas y convertidas en teoremas. Pero existen otro tipo de demostraciones igual de admirables, aquellas en la que no privan los conocimientos sino el ingenio. De esto tenían mucho Leibniz y Sofía Germain, y qué decir del gran maestro Euler.
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Teorema de Sofía Germain
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He aquí un problema propuesto por Sofía Germain, conocida matemática francesa: Demuéstrese que los números del tipo a ^4 + 4 son compuestos, (con la condición de que a sea distinto de 1). Aclaraciones: compuesto es lo contrario de primo. a^4=a · a · a · a se transcribe como "a" elevado a la cuarta potencia.
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a ^4 + 4 = a ^4 + 4(a ^2) + 4 - 4(a^ 2) = (a ^2 + 2) ^2 - 4(a ^2) =
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= (a ^2 + 2) ^2 - (2a) ^2 = (a ^2 + 2 - 2a) · (a^ 2 + 2 + 2a)
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De aquí se desprende que, todo número de la forma a ^4 + 4 puede ser expresado en forma de dos factores que no sean iguales ni a él ni a la unidad, es decir, no puede ser un número primo.
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Demostración de Leibniz
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Cuando llegó Leibniz a París aún sin una base matemática sólida, le pidió a Huygens que le introdujeera en los círculos matemáticos del momento. Para evaluar la capacidad de Leibniz se le propuso el siguiente problema: calcular la suma de infinitos términos de los números triangulares.
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Leibniz dio la respuesta de forma ingeniosa. Calculó, no la suma, sino su mitad:
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1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =
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=(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... =
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= 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1
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Luego S = 2
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Las autoridades matemáticas abrieron las puertas de par en par a Leibniz y tal vez gracias a ello pudo nacer el cálculo diferencial e integral.

23 comentarios:

koinor dijo...

muy interesante. Hay tantas cosas que no conozco!

G dijo...

cuentan que Leibniz estaba tan envanecido con este cálculo que afirmaba ser capaz de sumar cualquier serie, hasta que lo frenó Wallis preguntándole por la suma de 1/n^2

Joyce dijo...

Mi ignorancia en matemáticas me lleva a apenás conocer la conjetura de Fermat y eso con trabajos, pero ha sido interesante conocer las que aquí presentas, pero siendo sincera me cuesta un poco entender la de Germain.

Saludos

Sable dijo...

Todos ignoramos muchas cosas, y eso hace que nunca dejemos de aprender unos de otros ;)

Te entiendo Joyce, es algo lioso, tal vez te ayude escribirlo en un papel ya que el formato con el que aquí se presenta no es muy claro. Intentaré conseguir un programa que lo visualice en otra notación.
Llamo a y b a todos los números sin distinción, por comodidad.

En el primer paso se suma y se resta una cantidad, lo que deja invariable la expresión.
En el segundo se hace el paso inverso de (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 dejando el 4(a^ 2) fuera.
Se introduce el 4 de 4(a^ 2) dentro del paréntesis (2a)^2
Finalmente se aplica el paso inverso de a^2-b^2=(a+b)·(a-b)

La cosa es expandir a^4 + 4, pero estamos acostumbrados a simplificar operando con (a^2+2-2a)·(a^2+2+2a). La demostración de Sofie Germain es el cálculo INVERSO de una expresión común, del final al principio.

Joyce dijo...

Bien gracias por la explicación, ya me quedó más claro. Ciao

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