viernes, 13 de abril de 2007

Familias de poliedros

Se presentan algunos de los tipos de poliedros que existen, de forma breve e introductoria. Se realiza además una clasificación y descripción básica, así como el proceso de formación. Se recomienda acceder a los enlaces para visualizar los poliedros. (Actualización)

Sólidos platónicos: Son los más conocidos y los únicos regulares y convexos a la vez. Existen cinco: Tetraedro (existe un interesante artículo dedicado al tetraedro publicado recientemeente en gaussianos), Cubo, Octaedro, Dodecaedro y Icosaedro.
Los demás sólidos se generan a partir de estos.

Sólidos de Kepler-Poinsot: Son también regulares pero cóncavos. Se logran a partir de adiciones sobre las caras de los sólidos platónicos. Existen cuatro: pequeño dodecaedro estrellado (imagen), gran dodecaedro estrellado, gran icosaedro y gran dodecaedro.



Sólidos arquimedianos: Son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes pero no de caras uniformes. Se obtienen truncando (cortando por los vértices) los sólidos platónicos. El truncamiento se suele hacer a 1/3 de las aristas. Son simétricos salvo el Snub cube.

Son 11: tetraedro truncado, cuboctaedro, cubo truncado(imagen L), octaedro truncado, rombicuboctaedro, cuboctaedro truncado, icosidodecaedro(imagen R), dodecaedro truncado, icosaedro truncado, rombicosidodecaedro y icosidodecaedro truncado.

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Existen otros como el cubo romo o el dodecaedro romo.

Sólidos duales: Existen de dos tipos y para formarlos:
a) Se calculan los puntos medios de las caras de los sólidos platónicos (1) Se unen los puntos y se genera un nuevo sólido platónico. De modo que el número de caras del sólido original pasan a ser el número de vertices del sólido generado. Tras realizar estas operaciones en un:

  • Tetraedro se genera otro tetraedro más pequeño, ya que tiene 4 caras y 4 vértices.
  • Cubo (6 caras) se genera un octaedro (6 vértices)
  • Octaedro (8 caras) se genera un cubo (8 vértices)
  • Dodecaedro (12 caras) se genera un icosaedro (12 vértices)
  • Icosaedro (20 caras) se genera un dodecaedro (20 vértices)

b) Se inscribe el sólido platónico en una esfera. Se realiza de nuevo (1), se calcula el centro del poliedro y luego los puntos de corte en la superficie de la esfera con la prolongación de la recta que pasa por el centro y cada punto medio de las caras. Se une cada punto de corte con los vértices de la cara que le corresponde. Se obtiene algo similar a los sólidos de Kepler pero con una determinada proporción.

Sólidos de Johnson: Son 92. La mayor parte de los poliedros de Johnson son derivados de los sólidos platónicos y de los arquimedianos agregando o quitando pedazos. En ocasiones se cogen dos polígonos regulares, por ejemplo dos cuadrados iguales, se sitúan a una cierta distancia paralelos, se gira uno de ellos , en este caso 45º, y se une cada uno de los vértices superiores con los dos que tiene debajo. Y Finalmente se añade en cada cara cuadrada una pirámide. Resultado: Han quedado sin tratar entre otros grupos los sólidos de Catalan o los deltaedros.

En Wolfam MathWorld podéis encontrar la mayor colección de poliedros en la red tratados uno a uno con aplicaciones java, plantillas, descargas, laboriosos cálculos, curiosidades...

6 comentarios:

Lola dijo...

jejejeje, yo todo esto lo aprendí el año pasado estudiando las oposiciones... :P Me pareció muy curiosa la clasificación, la verdad :)

Sable dijo...

Yo hace también cerca de un año que conozco la clasificación. Y desde que hace poco mi profesor se pasase una clase hablando acerca de esto me volví a interesar por el tema. Las propiedades y el cálculo del volumen de los sólidos resulta de lo mas interesante, curioso y a veces muy complicado. ¡Que chuli! :p

Chesky chesky dijo...

Lo primero es felicitarte por tu gran blog sable.Espero que la actualices constantemente ya que sería una pena que cayese en el olvido.Bueno,al tema.A mí también me ha explicado mi profe de mates cosas sobre los sólidos de los que hablas aquí.Me habían dicho una página web (que está en ingles) en la que se podía ver todos los sólidos que hay. ¿La sabrías tú, sable?. Es que pareció una bonita forma de completar este blog.UN SALUDO DE PARTE DE CHESKY CHESKY.

Chesky chsky dijo...

Perdona sable ya que ahora mismo he visto el enlace al final de este apartado.¡Tanto dibujo de sólidos me trastorna!

Sable dijo...

Jeje. Hola señor cheski-cheski(perejil en ruso, creo). Pues normal que te haya hablado tu profesor de estos sólidos, puesto que vas a la misma clase que yo. El enlace del que hablas es MathWorld (existen algunos otros, y está puesto al final del post, a ver si nos enteramos. :)

Saludos!

sexy dijo...

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