miércoles, 30 de mayo de 2007

Demostraciones ingeniosas

Son muchas las cuestiones matemáticas, y muchas las demostraciones extensas y aquellas para las que se necesitan conocimientos muy avanzados para solamente comprenderlas, sirvan de ejemplo la conjetura de Fermat y la conjetura de Poincaré, recientemente demostradas y convertidas en teoremas. Pero existen otro tipo de demostraciones igual de admirables, aquellas en la que no privan los conocimientos sino el ingenio. De esto tenían mucho Leibniz y Sofía Germain, y qué decir del gran maestro Euler.
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Teorema de Sofía Germain
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He aquí un problema propuesto por Sofía Germain, conocida matemática francesa: Demuéstrese que los números del tipo a ^4 + 4 son compuestos, (con la condición de que a sea distinto de 1). Aclaraciones: compuesto es lo contrario de primo. a^4=a · a · a · a se transcribe como "a" elevado a la cuarta potencia.
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a ^4 + 4 = a ^4 + 4(a ^2) + 4 - 4(a^ 2) = (a ^2 + 2) ^2 - 4(a ^2) =
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= (a ^2 + 2) ^2 - (2a) ^2 = (a ^2 + 2 - 2a) · (a^ 2 + 2 + 2a)
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De aquí se desprende que, todo número de la forma a ^4 + 4 puede ser expresado en forma de dos factores que no sean iguales ni a él ni a la unidad, es decir, no puede ser un número primo.
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Demostración de Leibniz
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Cuando llegó Leibniz a París aún sin una base matemática sólida, le pidió a Huygens que le introdujeera en los círculos matemáticos del momento. Para evaluar la capacidad de Leibniz se le propuso el siguiente problema: calcular la suma de infinitos términos de los números triangulares.
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Leibniz dio la respuesta de forma ingeniosa. Calculó, no la suma, sino su mitad:
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1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =
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=(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... =
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= 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1
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Luego S = 2
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Las autoridades matemáticas abrieron las puertas de par en par a Leibniz y tal vez gracias a ello pudo nacer el cálculo diferencial e integral.

domingo, 20 de mayo de 2007

Maratón de problemas II

1) ANA, BETTY Y CAROLINA
Se seleccionan 3 dígitos al azar distintos de 0. Se pega uno de esos tres dígitos en la frente de Ana, otro de los dígitos en la frente de Betty y el último dígito en la frente de Carolina, de tal modo que ninguna de las niñas vea el dígito que ella misma tiene en su frente. Además las niñas están en cubículos con vidrios especiales de tal modo que Ana puede ver a Betty y a Carolina, mientras que Betty solo puede ver a Carolina y Carolina solo a Betty. El objetivo para cada niña es deducir cuál es el dígito que lleva en la frente. El juez les informa que el número formado por los dígitos que tienen Ana, Betty y Carolina, en ese orden, es un cuadrado perfecto. Suponiendo que las tres llevan a cabo un razonamiento lógico.

Después de esto Ana dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".
En seguida Betty dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".
Finalmente, Carolina dice: "Yo sí se cuál es mi dígito".

¿Cuál es el dígito que Carolina tiene en la frente?


2) CUMPLEAÑOS DE PABLO, MARÍA Y JUAN
Pablo, María y Juan celebran hoy los tres sus cumpleaños. Sus edades son diferentes. Pablo es el más joven de los tres, tiene cuatro años menos que Juan, el mayor. A los tres les encanta jugar con los números. Calculan todas las distintas sumas de dos y tres números entre sus edades. Sumando todas esas sumas obtienen un primer resultado. Calculan después todas las diferencias positivas entre sus edades, a continuación suman esas diferencias y obtienen un segundo resultado. Dividen el primer resultado entre el segundo, y cosa curiosa, se obtiene la edad de Juan.

¿Cuál es la edad de Juan?

!No! No faltan datos. Suerte a tod@s y a hacer uso de vuestro cálculo e ingenio

sábado, 19 de mayo de 2007

Origen de la Luna

No se sabe a ciencia cierta cual es el origen de nuestro satélite, aunque existen varias teorías. Las podéis encontrar todas en AstroMía. En este artículo voy a centrarme en la Hipótesis de impacto ya que es una mezcla de las demás, y resulta hasta el momento la más aceptada.

Su desarrollo comienza al descubrir que la composición de la Luna era prácticamente la misma que la de la superficie terrestre, suponiendo que debía de haberse creado a partir de la propia Tierra. Un cuerpo tan grande en relación a nuestro planeta difícilmente podía haber sido capturado ni tampoco era probable que se hubiese formado junto a la Tierra.

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Así, la mejor explicación de la formación de la Luna dice que ésta surge de la colisión de un cuerpo del tamaño de Marte (la mitad del radio terrestre y un décimo de la de su masa) contra nuestro planeta. La enorme energía suministrada por el choque fundió la corteza terrestre al completo y arrojó una gran cantidad de materia incandescente al espacio. Con el tiempo se formó un anillo de roca alrededor de nuestro planeta hasta que se uniría formando un cuerpo compacto, la Luna.

Ver Simulación del impacto y formación.
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Su órbita inicial estaba mucha más cerca de la Tierra que la actual y el día terrestre era mucho más corto ya que la Tierra rotaba más deprisa. Durante cientos de millones de años la Luna ha estado alejándose lentamente de la Tierra a la vez que ha ralentizado la rotación.
Esta teoría también explica la gran inclinación del eje (23,5º) de rotación terrestre que habría sido provocada por el impacto.

Lo más dudoso de esta teoría es que tendrían que haberse dado demasiadas coincidencias juntas. La probabilidad de impactar con un astro errante era muy alta al inicio del Sistema Solar. Más dificil es que la colisión no desintegrase totalmente el planeta y que los fragmentos fuesen lo suficientemente grandes como para poder generar un satélite.

Más información en Wikipedia.

lunes, 14 de mayo de 2007

La técnica en el Go

Leer antes las instrucciones de juego dadas en el artículo anterior.
Aquí se presentan los conceptos técnicos básicos. Pronto se tratarán los conceptos de "ko" y "seki", el primero bastante común, y lo podéis encontrar explicado en este enlace.
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Bastiones:
A medida que se van colocando más fichas en el tablero, puede parecer que todos los grupos podrían, eventualmente, amenazarse mutuamente, pero es posible formar un grupo que no pueda ser capturado.

Por ejemplo, el grupo negro de la esquina superior izquierda de la imagen está totalmente rodeado de fichas blancas, pero esta fortificación negra no está en ningún peligro. Las blancas nunca podrían cerrar las salidas interiores. Puesto que cualquier ficha blanca colocado tras las líneas negras sería rápidamente eliminada (capturada).

Solo hay peligro cuando:
1º.- El grupo es demasiado pequeño o compacto,
o 2º.- El espacio dentro del grupo es lo suficientemente extenso como para que el enemigo pueda “crear un estado dentro del estado”.

La construcción del bastión o grupo “viviente” se basa en la formación de “ojos”. Pero antes de pasar a la descripción de “ojos”, se debe definir el concepto de “suicidio”.
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El Suicidio:
No está permitido hacer una jugada que ocupe la última salida en el interior de una formación enemiga (suicidio) a no ser que esta jugada capture una o más piedras enemigas.
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-Fig. izquierda: Blanco no puede colocar en a, b o e pues no tendría acceso a ninguna intersección sin ocupar, sería suicidio.

-Fig. centro: Blanco puede colocar en a, b, c o e pues ha rodeado completamente al enemigo. Para entender esto, se ha de fijar en que primero se atiende a la situación ofensiva de las piedras del jugador en espera(en este caso Negro) y tras esto al jugador que acaba de colocar(Blanco)

-Fig. derecha: Resultado después de que Blanco capture las piedras enemigas.

El suicidio está restringido por lo que se elimina inmediatamente la/s piedra/s que se encuentre en una situación de suicidio.

Los ojos:
Un ojo es una intersección que se encuentra completamente rodeada por un grupo de piedras unidas del mismo color. De por sí solo un ojo sirve para poco, pero cuando conseguimos unir dos ojos creamos un grupo imposible de capturar:

En la imagen el grupo de blancas tiene dos salidas. Si a una negra se le ocurre ocupar cualquiera de esas vacantes, se suicida. Ya que solo se puede colocar una piedra por turno el grupo con dos ojos es un bastión totalmente asegurado contra la captura.
El ojo de la imagen se consigue con 13 piedras, pero se puede hacer lo mismo en un lateral con 5 menos aprovechando las defensas naturales del borde del tablero. E incluso si se hace en la esquina aprovechando dos laterales se ahorran 2 más.
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Un grupo con dos ojos o un bastión constituyen una excelente base de operaciones desde la cual conectar otros grupos y asegurar así su permanencia.
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Estrategia básica:
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El jugador tiene que tratar de rodear la mayor porción de territorio con el menor número de piedras posibles.
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Lo primero que tiene que hacer es elegir un sitio seguro y de fácil acceso para formar su primera base de operaciones. Este sitio es sin duda la esquina puesto que los dos bordes que la forman constituyen una defensa natural. Tampoco situé sus piedras exactamente en el borde si no posee ojos ya que aunque son más fáciles de proteger también lo son de acorralar. Por ello situé las piedras a 3 o 4 intersecciones del lateral y esquina.
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Entonces ocupe:

  1. Primero las esquinas,
  2. después extiéndase por los laterales consolidando su posición
  3. y finalmente encamine sus piedras hacia el centro.

Esto no quiere decir que no pueda saltar de una esquina a otra, al contrario esto es aconsejable.

Conectividad y velocidad

En la estrategia del juego del Go entran en consideración dos conceptos: la conectividad y la velocidad.
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Es importante tener cercanas unas piedras de otras pero también extenderse en el tablero. Dese cuenta que no tiene por que colocar 10 piedras en una esquina para hacerla suya a largo tiempo, sino que le vale con 3 ó 4 de ventaja frente a su oponente, suficiente.
Deje que su oponente controle dos esquinas y controle mejor usted las otras dos abarcando mayor territorio y seguridad. Le aseguro que no hay mayor satisfacción que vencer sin haber combatido. Eso sí, si es de los que le guste pelear ataque fuerte y decisivamente que por una vez no va a lastimar a nadie.
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Enlaces:
Para aprender a jugar al Go de forma interactiva.
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Que disfurten jugando con un amigo o en:

sábado, 12 de mayo de 2007

LógicaMente III

Los anteriores LógicaMente I y II resultaron más sencillos, hoy os presento otro juego de pura lógica (no hay trucos) que según la leyenda fue escrito por Einstein cuando era solo un niño, con la idea de que el 98% de la población mundial no lo pudiera resolver.

Premisas:

  1. En una calle hay cinco casas, pintadas de diferentes colores, en una fila de izquierda a derecha.
  2. En cada casa vive una persona de diferente nacionalidad.
  3. Los dueños de éstas cinco casas beben distintas bebidas, fuman distintas marcas de cigarros y tienen una mascota diferente.

La pregunta: ¿Quién es el dueño del pez?

Pistas:

  1. El británico vive en la casa roja.
  2. El sueco tiene un perro.
  3. El danés bebe té.
  4. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca.
  5. El dueño de la casa verde bebe café.
  6. La persona que fuma Pall Mall cría pájaros.
  7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
  8. El hombre que vive en la casa del centro toma leche.
  9. El noruego vive en la primera casa.
  10. El hombre que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos.
  11. El hombre que tiene caballos vive al lado del hombre que fuma Dunhill.
  12. El hombre que fuma Blue Master bebe cerveza.
  13. El alemán fuma Prince.
  14. El noruego vive al lado de la casa azul.
  15. El hombre que fuma Blends tiene un vecino que bebe agua.

No se asusten, es verdad que es complicado y es posible que no salga a la primera vez, por eso les sugiero que se relajen y disfruten. Pido encarecidamente que no busque la respuesta en Internet y la publique aquí, lo único que haría sería engañarse a si mismo. Sería interesante que se comentasen breves partes del razonamiento o algunas claves. ¡Suerte a tod@s!

miércoles, 9 de mayo de 2007

¿Cuál es la distancia al horizonte?

Imagina que estás en la playa de pie mirando el horizonte: ¿a qué distancia se encuentra? Antes de seguir haz una estimación: ¿5 Km?, ¿50?, ¿500?...


El horizonte es la línea a partir de la cual no podemos ver más allá a causa de la curvatura de la Tierra. Entonces la línea visual que une nuestros ojos con el horizonte es una línea recta tangente a la Tierra, y por tanto perpendicular al radio de esta en el horizonte.

Los datos necesarios son el radio de la Tierra(r=6378 Km. aproximadamente en el ecuador), y la altura a la que se encuentran los ojos del observador ("a" en el esquema, claramente exagerado). Aplicando el teorema de Pitágoras calculamos la distancia al horizonte (h):
Si suponemos que nuestros ojos se elevan a=1,70 metros del suelo (0,0017 Km.) y aplicamos la fórmula el horizonte estará a 4,66 Km. Dependiendo de nuestra altura, este valor puede oscilar entre 4 Km(para los más pequeños de la casa) y 5 (para los jugadores de baloncesto).

Y yo me pregunto... ¿a qué distancia está 'vuestro horizonte'?

domingo, 6 de mayo de 2007

Cálculo mental

Os presento otra de mis debilidades; el calculo mental. Iré introduciendo en artículos posteriores a algunos de los más grandes genios con habilidades para hacer todo tipo de cálculos complejos a velocidades de vértigo con la única ayuda del cerebro, la más compleja y potente de las máquinas. También se tratarán trucos y consejos para la mejora del cálculo y para el deleite propio y de nuestros amigos.

Comienzo con:

Srinivasa Ramanujan, un genio del que hablar.

Con con un rasgo sobresaliente, ojos brillantes... fue Ramanujan uno de los más curiosos genios que ha dado la humanidad. Nacido en el seno de una familia humilde de la India en 1.887, estaba dotado de una capacidad intuitiva para las matemáticas muy inusual.

Sin tener estudios matemáticos consiguió logros importantísimos gracias a su capacidad de abstracción y a su portentoso dominio de los números y sus propiedades.

Su presentación en Occidente fue a través de una carta que envió al prestigioso matemático inglés G. H. Hardy con varios de sus teoremas y fórmulas matemáticas. Cuando Hardy lo leyó hizo el siguiente comentario:

"Nunca había visto nada ni siquiera parecido. Una ojeada es suficiente para comprender que solamente podían ser escritas por un matemático de la más alta categoría. Tenían que ser ciertas, porque si no lo fueran, nadie habría tenido suficiente imaginación para inventarlas"

Tenía una extraordinaria memoria, pudiendo recordar las características de los diferentes números de una manera casi misteriosa. Como él mismo decía "cada entero positivo es uno de mis amigos personales".

Antes de su fallecimiento, de tuberculosis a los 33 años, Hardy fue a visitarlo y de entonces nos cuenta la siguiente anécdota:

"una vez fui a verle cuando yacía enfermo en Putney. Para romper el hielo le conté que había viajado en un taxi cuyo número me resultaba un tanto insípido, el 1.729. Rápidamente me respondió, no amigo no, es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos formas distintas".

1729 = 10^3 + 9^3; 1729 = 12^3 + 1^3

Añadió a su memoria, a su paciencia y a su capacidad de cálculo, un poder de generalización, un sentido de la forma y una capacidad de modificación rápida de sus hipótesis realmente sorprendente, que le sitúan, en su campo, en el lugar más destacado.

Como su mentor Hardy vuelve a decirnos:

"Probablemente, Ramanujan habría sido mejor matemático si lo hubieran descubierto y educado al poco de su juventud. Habría descubierto más cosas nuevas y, sin duda, de mayor importancia. Por otra parte, habría sido menos parecido a Ramanujan y más semejante a un profesor europeo y así la pérdida hubiera sido tal vez mayor que la ganancia"

Decir también que existe el premio anual Ramanujan para matemáticos jóvenes (menos de 45 años) de países en desarrollo. El premio es de US$ 10,000 en efectivo además de los gastos para el viaje y viáticos, para recibir su premio y dar su conferencia.

Fuentes:

viernes, 4 de mayo de 2007

Series numéricas

He aquí unas cuantas series de números para que intentéis saber como se han formado y como continúan. Agradecería que al principio solo se desvelase el término siguiente, para que el que acceda tras esto al acertijo pueda seguir participando y añadiendo más números. Cuando la cosa haya quedado clara, se puede dar la ley de formación.

  1. 1, 4, 9, 61, 52, 63, 94, 46, 18, 1, 121, 441, 961...
  2. 0, 1, 8, 11, 88, 101, 111, 181, 808, 818, 888, 1001, 1111, 1881, 8008, 8118, 8888, 10001, 10101, 10801, 11011...
  3. 1, 1, 2, 4, 7, 11, 18, 36, 65, 101, 166, 332, 599, 931...
  4. 3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 7...
  5. 3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, 5, 2, 9, 8...

Hay que decir que algunas son realmente rebuscadas e ingeniosas. ¡Suerte a tod@s!.

miércoles, 2 de mayo de 2007

Slitherlink: un nuevo e interesante pasatiempo

Slitherlink es un interesante pasatiempo lógico creación de la conocida editorial nipona Nikoli que pretende como muchos otros llegar a conseguir el éxito del Sudoku. En sus orígenes, por el año 1989 cada cuadrado contenía un número pero en la actualidad, solo cerca de la mitad de los cuadrados contiene un número.


Se nos facilita una cuadrícula con puntos y algunos números, y para su correcta solución se han de cumplir los siguientes enunciados (fijarse que se cumplen todos en la imagen):
  1. Se trata de unir los puntos mediante trazos verticales y horizontales.

  2. El objetivo es crear un camino continuo y único.

  3. Cada número (0, 1, 2, 3) inscrito en un cuadrado especifica el número de segmentos de línea adyacentes al mismo.

Es de gran ayuda marcar con una pequeña ‘x’ el espacio entre dos puntos que no pueden ser unidos. Muestra especial atención a los ‘0s’ y a los ‘3s’, y a las esquinas. En esta página de la editorial Nikoli podéis ver una pequeña presentación de la resolución de un Slitherlink, que os puede ayudar.

Ya puedes disfrutar jugando en esta página o descargarlos en una versión gratuita.

-Lo esencial es lo anterior, pero si quieres saber más, ¡adelante!:

Uno de los razonamientos más utilizados para la resolución del Slitherlink, es una norma que se saca del apartado [2], y dice que cada punto tiene exactamente dos líneas conectadas a él o ninguna línea[4], puesto que de un punto no puede salir solo un segmento porque tendría una entrada pero no una salida (no sería continuo) y tampoco pueden salir más de dos (existiría más de un camino). Aplicaciones:

  • Imagínate dos ‘3s’ adyacentes, pues de los 7 segmentos que se pueden formar, el que tienen en común ha de ir siempre marcado, puesto de no ser así los otros 6 segmentos deberían ir marcados por [3] y se forma un óvalo [] cerrado que es imposible conectar con cualquier otra línea, porque se incumpliría [4]. También, las dos líneas externas del grupo (paralelas a la línea común) se deben marcar.

  • Con un razonamiento similar, si dos ‘3s’ se encuentran en diagonal, las cuatro líneas que no tocan el punto común se deben llenar. No os pongo el razonamiento de esto último para que lo penséis vosotros, sino sale después de intentarlo varias veces, lo digo yo.

Lo que realmente me gusta de los pasatiempos lógicos es que para su resolución no se necesitan conocimientos matemáticos, pero para casos excepcionalmente difíciles puedes elaborar tus propias normas o recurrir a teoremas matemáticos como:

  • Cada curva abierta que empieza y termina fuera de una curva cerrada debe cruzar la curva cerrada un número par de veces (un lío). Aplicado a lo que nos interesa: intenta, con las reglas de este pasatiempo, cercar una región con un número impar de líneas verticales u horizontales, no podrás, es imposible, cada línea es pareja con otra.

Concluyendo, la idea sería situar el lápiz en un punto, preferiblemente cerca de los ‘3s’ y ‘0s’ y esquinas, y trazar un camino único y sin levantar el lápiz cumpliendo los enunciados anteriores, hasta que sea posible. Después se tendrá que levantar el lápiz y abordar el problema desde otro punto, y así en adelante, para finalizar uniendo todos los trazos.

Si surge cualquier duda, algo que no se entienda... comentadlo. Otros pasatiempos lógicos presentados aquí:

Agradezco a JaeT32 por los enlaces y su información en su página Su.Doku.es.

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