Cuestión de preguntas

El otro día encontré en una sala de Go en kgs en la que semanalmente se publican pasatiempos matemáticos el siguiente dilema, parecido a muchos otros, que me llamo especialmente la atención por una pequeña modificación. No sé de la respuesta, espero que les divierta.

Dice así: '' Un hombre se encuentre frente a tres oráculos. Uno de ellos dice siempre la verdad, otro siempre miente y un tercero responde mentiras y verdades al azar. Has de hacer tres preguntas que se contestan con un sí o un no, destinadas a cuales quieras, con el objetivo de descubrir cual es cada oráculo. Existe además una dificultad añadida, que los oráculos responden a las preguntas con Ynah o Utah, pero no sabes cual se corresponde con el sí y cual con el no. ''

La aventura del Go

Queridos lectores, llevaba tiempo sin escribir y ahora me voy unos días (supongo que como mucho un par de semanas, aunque quién sabe qué me voy a encontrar) y no creo que consiga acceder a Internet. Así que os dejo esta entrada en la que os hablo sobre aspectos generales del fascinante juego del Go ya comentadas sus reglas anteriormente, podéis encontrar lo tratado en este blog sobre el Go en la etiqueta del margen "El juego del Go".

“Así como la paciencia, según dicen, es oriental, se esgrime a Occidente como depositario de la racionalidad. El juego ciencia más famoso, el ajedrez, proviene de la India, y según dicen, data del siglo VI. Pero el Go, este difundido juego de inteligencia tiene un mentor más viejo, más sencillo y más complejo a la vez. El Go es un juego de estrategia que se originó en China hace unos 4.000 años, es incluso más antiguo que la escritura. Simple en sus reglas y a la vez de una complejidad infinita.

Según cierta leyenda, el juego lo inventó un emperador sabio para su hijo, y sucesor, el impredecible Dan-Zhu, que mostraba signos de estupidez según su padre quien no iba ha dejar su reino en manos de un inepto. Este aprendió tan complicado juego como una gimnasia para ejercer el poder con cordura y equidad.

En su nombre original, "Wei qi" (se lee guichi, según el método pinyin), según nos informa Javier Moreno Carnero en los comentarios, "Wei" significa rodear, y "Qi" es relativo a los juegos de tablero, el ajedrez también utiliza este último caracter". En Corea tomó el nombre de Patok o Badok, y muchos siglos más tarde, apareció en Japón donde adoptó el nombre de I-Go, o simplemente, Go.

A través de la historia ha cautivado el interés de grandes personalidades de oriente como Sun Tzu, Confucio y Mao Tse Dong, y de occidente como el matemático Gottfried Leibniz, el matemático y premio Nobel de Economía John Nash, y el escritor argentino Jorge Luis Borges quien incluso dedicó un poema al juego. La belleza del juego ha servido de inspiración para la ciencia, el cine, el arte, la literatura e incluso para series de comics y éxito televisivo (Hikaru No Go!). En la actualidad, es el segundo juego más popular del mundo, con unos 50 millones de jugadores, estos se encuentran sobre todo en Asia, pero Internet ha contribuido a una rápida expansión del juego en Occidente.

Cuenta una leyenda que un caminante vio a dos ancianos jugando al Go y se acercó y les preguntó: ¿Que tiene de interesante ese juego, en el que no se hallan presentes ninguno de los placeres terrenales? Uno de los ancianos le respondió: Para el que mira con los ojos sólo verá un tablero de Go, pero para los que ven con el pensamiento, el Go es el centro del universo, y en el dos fuerzas (Yin y el Yang: opuestas pero complementarias) dispuestas a disputarse la supremacía en una lucha a muerte y sin cuartel.

El juego es como la vida misma, son tantas las combinaciones posibles en un tablero de 361 intersecciones que superan al número de átomos de nuestra galaxia, lo que hace que cada partida sea única. Es por ello entre otras curiosidades que este juego sigue siendo invencible para las computadoras. Todavía no se ha creado un émulo de la famosa Deep Blue que supo vencer al ruso Garry Kasparov, aunque se hayan ofrecido premios de 10 millones de dólares para quien lo consiga.

En una partida los jugadores reflejan sus personalidades y entre jugadores avanzados estos son capaces de interpretar y acabar por conocerse muy bien sin haber intercambiado palabra alguna.

En estos tiempos los mejores profesionales de Go, concentrados en China, Corea y Japón, ganan bolsas tan grandes como la de los torneos profesionales de golf. A la prestigiosa Universidad de Tokyo se ingresa, sin el exigente examen de admisión, acreditando un buen nivel de juego, lo cual no es para nada fácil.

La gran estrategia, dicen los campeones, es saber ceder. Como en la vida, cuando se gana siempre hay que resignar algo. Esto es: aprender a dar para recibir. El maestro de Go instruye a sus alumnos: "No defiendas lo que no se puede defender", "De cada jugada saca el máximo de provecho", "No empieces la partida sin una estrategia", "Quien tiene la iniciativa, tiene media batalla ganada", "Si quieres vencer, divide a tu enemigo", "No luches contra tu oponente, lucha contra el tablero”.

El sentido del juego es tan profundo .., hay tanto de que hablar en este juego, tantos documentos, pero por ahora me quedo aquí ...

Enlaces:

• Otro artículo introductorio en el blog de Cripto
• Aprender a jugar al Go de forma interactiva

Si ya conocen las reglas, que disfruten jugando con un amigo o en:

• KGS-Kiseido Go Server
• IGO Server

Fuentes consultadas:

• "El arte de jugar al Go" - El Viajero Ilustrado
• "Qijing Shisanpian" (El clásico del weiqi en trece capítulos) - Horacio A. Pernía
• Nikkai: "...La página del Go"
• "Café literario"

Para más información ver enlaces sobre el Go en el margen izquierdo de esta página.

Infinitas incógnitas

Hace poco en Gaussianos apareció la siguiente cita tomada del libro "INFINITUM. Citas matemáticas" :

Ningún pensamiento como el del infinito ha turbado tan profundamente el espíritu humano, ni ninguna otra idea ha estimulado tan intensamente su intelecto.

David Hilbert

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El comentario de G (su blog: Fermat Margin) en la entrada anterior hizo que me acordara de un interesante problema en el que aparecen infinitas equis. Pese a que resulta difícil de imaginar es mucho más fácil de lo que parece.

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Se trata de calcular el valor de x en la ecuación:

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Y aquí una interesante variante:

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¡Suerte a tod@s! Mismo problema tratado con más profundidad en una entrada de Gaussianos.

Actualización (4 de julio de 2007): Semejanza de las dos ecuaciones anteriores con la representación mediante raíces anidadas del número aúreo.

El número aúreo es la solución a la ecuación:

--ç

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Si despejamos el término cuadrático tomando luego raíces, nos queda:

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Si ahora sustituimos el φ del radicando por su valor que se corresponde a la raíz completa y repetimos el proceso indefinidamente pasamos de:

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¿Bonito verdad? Más en Epsilones Fórmulas.

Álgebra recreativa

Respuesta al problema 6) de Encuentra el número II. Todos hemos advertido que al multiplicar por si mismo varios números terminados en 1 ó 5, el producto acaba en la misma cifra. Menos conocido, aunque llegamos al mismo resultado para todo número acabado en 6. Por ello toda potencia de un número acabado en 6 termina asimismo en 6.

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3786^258 termina en 6, 35^7233 termina en 5, 3241^132 termina en 1 etc.

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Esta curiosa propiedad de las cifras 1, 5 y 6 (abstenemos al 0) puede ser fundamentada algebraicamente, pero pasaremos a analizar casos mas complejos tras los cuales no tendréis dificultad para demostrar los casos sencillos.
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Hay números de dos cifras que también tienen la misma propiedad que las cifras 1, 5 y 6. Nos referimos a los números 25 y sorprendentemente 76. La demostración es como sigue. Aprovechando nuestro sistema de numeración decimal expresemos dos números terminados en 76 de la siguiente manera:

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100a + 76, 100b + 76

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Multipliquemos entre si y obtendremos tras operar:

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10.000ab + 7600b + 7600a + 5776 =

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= 10.000ab + 7600b + 7600a + 5700 + 76 =

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= 100 * (100ab + 76b + 76a + 57) + 76
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De esto se desprende que toda potencia de un número (o producto de dos números) acabado en 76, termina en también en 76. Por ejemplo: 376 ² = 141.376, 576 ³ = 191.102.976, etc.

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Existen también grupos de números con mayor cantidad de cifras que, al figurar al final de los mismos, aparecen también en su producto. El número de tales grupos de cifras es infinitamente grande.
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Conocemos ya dos grupos compuestos de dos cifras, que poseen propiedad análoga: el 25 y el 76. Para encontrar grupos semejantes con tres cifras hay que colocar delante del 25 o del 76 una cifra tal que nos dé un grupo de tres guarismos con la misma propiedad. Expresemos tal cifra con k. El número de tres cifras buscado se expresa como:

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100k + 76

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Se toman los números de una cifra más, de la misma forma:

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1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76

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Multiplicando dos números de este tipo entre sí y organizando, obtendremos:

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1.000.000ab + 100.000ak + 100.000bk + 76000a +

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+ 76.000b + 10.000k 2 + 15.200k + 5.776

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Todos los sumandos, menos los dos últimos, terminan, por lo menos, en tres ceros. Si el número anterior acaba en 100k + 76 (cosa que hemos supuesto en un principio) se ha de cumplir que la diferencia

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15.200k + 5.776 - (100k + 76) = 15.100k + 5.700 =

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= 15.000k + 5.000 + 100 (k + 7)

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se divide entre 1.000 sin dejar resto. Esto, evidentemente, ocurre cuando k sea igual a 3. Así pues, el grupo de cifras buscado es 376. A esto se debe que toda potencia de 376 termine en dicho número. Por ejemplo: 376 ² = 141.376.

Si nos interesa hallar un grupo de cuatro cifras que tenga la misma propiedad, debemos colocar delante de 376 una cifra más. Si expresamos esta cifra con L, se nos plantea el siguiente problema: ¿ Cuál debe ser la cifra L para que la multiplicación

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(10.000a + 1000L + 376) * (10.000b + 1.000L + 376)

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termine en 1.000L + 376? Si abrimos los paréntesis de esta multiplicación y prescindimos de todos los factores que terminan en cuatro ceros o más, nos quedará

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752.000L + 141.376

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La multiplicación termina en 1.000L + 376 si la diferencia

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752.000L + 141.376 - (1.000L + 376) =

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= 751.000L + 141.000 =

-

= (750.000L + 140 000) + 1.000 * (L + 1)

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se divide entre 10.000. Esto, sin duda, tendrá lugar solamente cuando L sea igual a 9. El grupo de cuatro cifras buscado es 9376. El grupo obtenido puede ser completado con una cifra más, para lo cual es preciso seguir idéntico razonamiento. Obtendremos 09.376. Si damos un paso más hallaremos el grupo de cifras 109.376 y, después 7.109.376, etc. Tal adicción de cifras a la izquierda del número puede ser efectuada infinita cantidad de veces.

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Y lo más interesante, aunque resulte raro y abstracto, es que si continuamos sacando más cifras ese "número infinito" satisface la ecuación:

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x ² = x

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Operando sucesivamente con cada una de las cifras del número x ² donde x =... 7 109 376, obtendremos las mismas cifras que teníamos con el número x, por lo cual, x ² = x. Hemos examinado grupos de cifras que terminan en 76. Si se aplica el mismo razonamiento para grupos de cifras terminados en 5 obtendremos los siguientes grupos de cifras:

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5, 25, 625, 0625, 90625, 890 625, 2 890 625, etc.

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Por ello podemos escribir otro “número infinito”: … 2.890.625, que también satisface la ecuación x ² = x. «Podríamos demostrar que este numero infinito equivale a:

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(((5 ² ) ² ) ² ) ² ) …»

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El interesante resultado obtenido en el “idioma de los números infinitos” se formula de esta manera: la ecuación x ² = x tiene (además de) de x = 0, x = 1), otras dos “soluciones infinitas”

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x = ... 7.109.376 y x = ... 2.890.625;

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sin ninguna otra solución (en el sistema de base diez).

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Fuente: libro "Algebra recreativa" de Yakov I. Perelman

Encuentra el número

Cada letra representa una cifra diferente en cada caso:

1) AABB=(CD)² Hallar un cuadrado de la forma AABB

2) ABCD = (CD)² Hallar un número de 4 cifras que sea el cuadrado de sus dos últimas cifras

3) A²+2=B^3 Hallar un cuadrado que se tranforma en un cubo al sumarle 2 unidades

Encuentra el número II

Aunque por el Último Teorema de Fermat no haya números x, y, z enteros de la forma x^n=z^n + y^n para n>2 y "n natural"( y digo esto último porque al redactar me planteé:

¿existirán nº de la forma anterior en la que n es decimal? Lo digo porque siempre oi que tal personaje probó que no existían nº para n=3... ¿y para n=3,5? Puede que la respuesta sea inmediata, pero no alcanzó ahora a responder ¿Engloba la reciente demostración del Teorema de Fermat los "n decimales"?). Pero sin embargo existen infinitos valores de A, B, C y D que satisfacen:

4) A²+B²+C²=D² La suma de tres cuadrados es otro cuadrado

5) A^3+B^3+C^3=D^3 La suma de tres cubos es otro cubo

6) Y he aquí el que más me gusta (ABC)²=CDEABC Hallar un número de 3 cifras, tal que su cuadrado termine con las mismas 3 cifras, en el mismo orden. Para el caso de una cifra serían el 1, el 5 y el 6, y para el de dos cifras no es muy difícil. Alguien se atreve con 4 cifras, o con 5 cifras... , los resultados son infinitos, pero hace falta expresarlo todo algebraicamente.

Suerte a tod@s!, sería interesante alguna explicación a tantas preguntas que pasan por mi mente ;) De momento creo que es suficiente para mantener vuestras mentes activas.

Las matemáticas en vídeo

Hoy os presento una interesantísima web EDUMATE-PERÚ que muchos ya conoceréis y que hace especial incapié en la educación matemática y su didáctica. Quería destacar su sección de vídeos matemáticos, los más recientes los encontrareis en el margen derecho. Todos, a través de este enlace vídeos-edumate. Los vídeos están muy bien, destacaría los que tratan acerca de la vida y trabajos del gran Euler, donde aparecen algunas citas y resultados de demostraciones igual de ingeniosas de sucesiones como la dada por Leibniz en la entrada anterior. Vídeos:

• El gran Euler: parte 1 y parte 2

Aprovecho también para continuar la entrada anterior y responder al comentario de G, con los siguientes sorprendentes resultados:

Series infinitas: Euler logró hallar en 1736 la suma de los recíprocos de los cuadrados, buscada por grandes matemáticos como Jacqes Bernoulli, o "Leibniz que afirmaba ser capaz de sumar cualquier serie, hasta que lo frenó Wallis preguntándole por la suma de 1/n^2", es decir:

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Asimismo logró calcular la suma de los recíprocos de las cuartas y sextas potencias:

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!Es impresionante la importancia de pi y el número de sitios insospechados en los que aparece!

También descubrió el conocido número e y lo relacionó con la suma de los recíprocos de los factoriales:

Y qué decir de la identidad de Euler, cuya demostración es relativamente sencilla, que relaciona los cinco números más importantes de la historia de las Matemáticas. Como dijo en cierta ocasión el matemático Benjamin Peirce a sus alumnos:

"Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad".

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Lo que empezó con la intención de hacer un brevísimo post recomendándoos la web EDUMATE-PERÚ a acabado por enrollarme. Ahora sí, les dejo que he de estudiar que !ya solo queda una semana de exámenes finales de curso en España! ¡Saludos!

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Fuente: Wikipedia

Demostraciones ingeniosas

Son muchas las cuestiones matemáticas, y muchas las demostraciones extensas y aquellas para las que se necesitan conocimientos muy avanzados para solamente comprenderlas, sirvan de ejemplo la conjetura de Fermat y la conjetura de Poincaré, recientemente demostradas y convertidas en teoremas. Pero existen otro tipo de demostraciones igual de admirables, aquellas en la que no privan los conocimientos sino el ingenio. De esto tenían mucho Leibniz y Sofía Germain, y qué decir del gran maestro Euler.
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Teorema de Sofía Germain
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He aquí un problema propuesto por Sofía Germain, conocida matemática francesa: Demuéstrese que los números del tipo a ^4 + 4 son compuestos, (con la condición de que a sea distinto de 1). Aclaraciones: compuesto es lo contrario de primo. a^4=a · a · a · a se transcribe como "a" elevado a la cuarta potencia.
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a ^4 + 4 = a ^4 + 4(a ^2) + 4 - 4(a^ 2) = (a ^2 + 2) ^2 - 4(a ^2) =

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= (a ^2 + 2) ^2 - (2a) ^2 = (a ^2 + 2 - 2a) · (a^ 2 + 2 + 2a)

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De aquí se desprende que, todo número de la forma a ^4 + 4 puede ser expresado en forma de dos factores que no sean iguales ni a él ni a la unidad, es decir, no puede ser un número primo.

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Demostración de Leibniz

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Cuando llegó Leibniz a París aún sin una base matemática sólida, le pidió a Huygens que le introdujeera en los círculos matemáticos del momento. Para evaluar la capacidad de Leibniz se le propuso el siguiente problema: calcular la suma de infinitos términos de los números triangulares.

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Leibniz dio la respuesta de forma ingeniosa. Calculó, no la suma, sino su mitad:

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1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =

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=(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... =

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= 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1

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Luego S = 2

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Las autoridades matemáticas abrieron las puertas de par en par a Leibniz y tal vez gracias a ello pudo nacer el cálculo diferencial e integral.

Maratón de problemas II

1) ANA, BETTY Y CAROLINA
Se seleccionan 3 dígitos al azar distintos de 0. Se pega uno de esos tres dígitos en la frente de Ana, otro de los dígitos en la frente de Betty y el último dígito en la frente de Carolina, de tal modo que ninguna de las niñas vea el dígito que ella misma tiene en su frente. Además las niñas están en cubículos con vidrios especiales de tal modo que Ana puede ver a Betty y a Carolina, mientras que Betty solo puede ver a Carolina y Carolina solo a Betty. El objetivo para cada niña es deducir cuál es el dígito que lleva en la frente. El juez les informa que el número formado por los dígitos que tienen Ana, Betty y Carolina, en ese orden, es un cuadrado perfecto. Suponiendo que las tres llevan a cabo un razonamiento lógico.

Después de esto Ana dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".
En seguida Betty dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".
Finalmente, Carolina dice: "Yo sí se cuál es mi dígito".

¿Cuál es el dígito que Carolina tiene en la frente?

2) CUMPLEAÑOS DE PABLO, MARÍA Y JUAN
Pablo, María y Juan celebran hoy los tres sus cumpleaños. Sus edades son diferentes. Pablo es el más joven de los tres, tiene cuatro años menos que Juan, el mayor. A los tres les encanta jugar con los números. Calculan todas las distintas sumas de dos y tres números entre sus edades. Sumando todas esas sumas obtienen un primer resultado. Calculan después todas las diferencias positivas entre sus edades, a continuación suman esas diferencias y obtienen un segundo resultado. Dividen el primer resultado entre el segundo, y cosa curiosa, se obtiene la edad de Juan.

¿Cuál es la edad de Juan?

!No! No faltan datos. Suerte a tod@s y a hacer uso de vuestro cálculo e ingenio

Origen de la Luna

No se sabe a ciencia cierta cual es el origen de nuestro satélite, aunque existen varias teorías. Las podéis encontrar todas en AstroMía. En este artículo voy a centrarme en la Hipótesis de impacto ya que es una mezcla de las demás, y resulta hasta el momento la más aceptada.

Su desarrollo comienza al descubrir que la composición de la Luna era prácticamente la misma que la de la superficie terrestre, suponiendo que debía de haberse creado a partir de la propia Tierra. Un cuerpo tan grande en relación a nuestro planeta difícilmente podía haber sido capturado ni tampoco era probable que se hubiese formado junto a la Tierra.

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Así, la mejor explicación de la formación de la Luna dice que ésta surge de la colisión de un cuerpo del tamaño de Marte (la mitad del radio terrestre y un décimo de la de su masa) contra nuestro planeta. La enorme energía suministrada por el choque fundió la corteza terrestre al completo y arrojó una gran cantidad de materia incandescente al espacio. Con el tiempo se formó un anillo de roca alrededor de nuestro planeta hasta que se uniría formando un cuerpo compacto, la Luna.

Ver Simulación del impacto y formación.
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Su órbita inicial estaba mucha más cerca de la Tierra que la actual y el día terrestre era mucho más corto ya que la Tierra rotaba más deprisa. Durante cientos de millones de años la Luna ha estado alejándose lentamente de la Tierra a la vez que ha ralentizado la rotación.
Esta teoría también explica la gran inclinación del eje (23,5º) de rotación terrestre que habría sido provocada por el impacto.

Lo más dudoso de esta teoría es que tendrían que haberse dado demasiadas coincidencias juntas. La probabilidad de impactar con un astro errante era muy alta al inicio del Sistema Solar. Más dificil es que la colisión no desintegrase totalmente el planeta y que los fragmentos fuesen lo suficientemente grandes como para poder generar un satélite.

Más información en Wikipedia.

La técnica en el Go

Leer antes las instrucciones de juego dadas en el artículo anterior.
Aquí se presentan los conceptos técnicos básicos. Pronto se tratarán los conceptos de "ko" y "seki", el primero bastante común, y lo podéis encontrar explicado en este enlace.
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Bastiones:
A medida que se van colocando más fichas en el tablero, puede parecer que todos los grupos podrían, eventualmente, amenazarse mutuamente, pero es posible formar un grupo que no pueda ser capturado.

Por ejemplo, el grupo negro de la esquina superior izquierda de la imagen está totalmente rodeado de fichas blancas, pero esta fortificación negra no está en ningún peligro. Las blancas nunca podrían cerrar las salidas interiores. Puesto que cualquier ficha blanca colocado tras las líneas negras sería rápidamente eliminada (capturada).

Solo hay peligro cuando:
1º.- El grupo es demasiado pequeño o compacto,
o 2º.- El espacio dentro del grupo es lo suficientemente extenso como para que el enemigo pueda “crear un estado dentro del estado”.

La construcción del bastión o grupo “viviente” se basa en la formación de “ojos”. Pero antes de pasar a la descripción de “ojos”, se debe definir el concepto de “suicidio”.
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El Suicidio:
No está permitido hacer una jugada que ocupe la última salida en el interior de una formación enemiga (suicidio) a no ser que esta jugada capture una o más piedras enemigas.
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-Fig. izquierda: Blanco no puede colocar en a, b o e pues no tendría acceso a ninguna intersección sin ocupar, sería suicidio.

-Fig. centro: Blanco puede colocar en a, b, c o e pues ha rodeado completamente al enemigo. Para entender esto, se ha de fijar en que primero se atiende a la situación ofensiva de las piedras del jugador en espera(en este caso Negro) y tras esto al jugador que acaba de colocar(Blanco)

-Fig. derecha: Resultado después de que Blanco capture las piedras enemigas.

El suicidio está restringido por lo que se elimina inmediatamente la/s piedra/s que se encuentre en una situación de suicidio.

Los ojos:
Un ojo es una intersección que se encuentra completamente rodeada por un grupo de piedras unidas del mismo color. De por sí solo un ojo sirve para poco, pero cuando conseguimos unir dos ojos creamos un grupo imposible de capturar:

En la imagen el grupo de blancas tiene dos salidas. Si a una negra se le ocurre ocupar cualquiera de esas vacantes, se suicida. Ya que solo se puede colocar una piedra por turno el grupo con dos ojos es un bastión totalmente asegurado contra la captura.
El ojo de la imagen se consigue con 13 piedras, pero se puede hacer lo mismo en un lateral con 5 menos aprovechando las defensas naturales del borde del tablero. E incluso si se hace en la esquina aprovechando dos laterales se ahorran 2 más.
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Un grupo con dos ojos o un bastión constituyen una excelente base de operaciones desde la cual conectar otros grupos y asegurar así su permanencia.
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Estrategia básica:
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El jugador tiene que tratar de rodear la mayor porción de territorio con el menor número de piedras posibles.
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Lo primero que tiene que hacer es elegir un sitio seguro y de fácil acceso para formar su primera base de operaciones. Este sitio es sin duda la esquina puesto que los dos bordes que la forman constituyen una defensa natural. Tampoco situé sus piedras exactamente en el borde si no posee ojos ya que aunque son más fáciles de proteger también lo son de acorralar. Por ello situé las piedras a 3 o 4 intersecciones del lateral y esquina.
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Entonces ocupe:

1. Primero las esquinas,
2. después extiéndase por los laterales consolidando su posición
3. y finalmente encamine sus piedras hacia el centro.

Esto no quiere decir que no pueda saltar de una esquina a otra, al contrario esto es aconsejable.

Conectividad y velocidad

En la estrategia del juego del Go entran en consideración dos conceptos: la conectividad y la velocidad.
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Es importante tener cercanas unas piedras de otras pero también extenderse en el tablero. Dese cuenta que no tiene por que colocar 10 piedras en una esquina para hacerla suya a largo tiempo, sino que le vale con 3 ó 4 de ventaja frente a su oponente, suficiente.
Deje que su oponente controle dos esquinas y controle mejor usted las otras dos abarcando mayor territorio y seguridad. Le aseguro que no hay mayor satisfacción que vencer sin haber combatido. Eso sí, si es de los que le guste pelear ataque fuerte y decisivamente que por una vez no va a lastimar a nadie.
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Enlaces:
Para aprender a jugar al Go de forma interactiva.
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Que disfurten jugando con un amigo o en:

• KGS-Kiseido Go Server
• IGO Server

LógicaMente III

Los anteriores LógicaMente I y II resultaron más sencillos, hoy os presento otro juego de pura lógica (no hay trucos) que según la leyenda fue escrito por Einstein cuando era solo un niño, con la idea de que el 98% de la población mundial no lo pudiera resolver.

Premisas:

1. En una calle hay cinco casas, pintadas de diferentes colores, en una fila de izquierda a derecha.
2. En cada casa vive una persona de diferente nacionalidad.
3. Los dueños de éstas cinco casas beben distintas bebidas, fuman distintas marcas de cigarros y tienen una mascota diferente.

La pregunta: ¿Quién es el dueño del pez?

Pistas:

1. El británico vive en la casa roja.
2. El sueco tiene un perro.
3. El danés bebe té.
4. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca.
5. El dueño de la casa verde bebe café.
6. La persona que fuma Pall Mall cría pájaros.
7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
8. El hombre que vive en la casa del centro toma leche.
9. El noruego vive en la primera casa.
10. El hombre que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos.
11. El hombre que tiene caballos vive al lado del hombre que fuma Dunhill.
12. El hombre que fuma Blue Master bebe cerveza.
13. El alemán fuma Prince.
14. El noruego vive al lado de la casa azul.
15. El hombre que fuma Blends tiene un vecino que bebe agua.

No se asusten, es verdad que es complicado y es posible que no salga a la primera vez, por eso les sugiero que se relajen y disfruten. Pido encarecidamente que no busque la respuesta en Internet y la publique aquí, lo único que haría sería engañarse a si mismo. Sería interesante que se comentasen breves partes del razonamiento o algunas claves. ¡Suerte a tod@s!

¿Cuál es la distancia al horizonte?

Imagina que estás en la playa de pie mirando el horizonte: ¿a qué distancia se encuentra? Antes de seguir haz una estimación: ¿5 Km?, ¿50?, ¿500?...

El horizonte es la línea a partir de la cual no podemos ver más allá a causa de la curvatura de la Tierra. Entonces la línea visual que une nuestros ojos con el horizonte es una línea recta tangente a la Tierra, y por tanto perpendicular al radio de esta en el horizonte.

Los datos necesarios son el radio de la Tierra(r=6378 Km. aproximadamente en el ecuador), y la altura a la que se encuentran los ojos del observador ("a" en el esquema, claramente exagerado). Aplicando el teorema de Pitágoras calculamos la distancia al horizonte (h):
Si suponemos que nuestros ojos se elevan a=1,70 metros del suelo (0,0017 Km.) y aplicamos la fórmula el horizonte estará a 4,66 Km. Dependiendo de nuestra altura, este valor puede oscilar entre 4 Km(para los más pequeños de la casa) y 5 (para los jugadores de baloncesto).

Y yo me pregunto... ¿a qué distancia está 'vuestro horizonte'?

Cálculo mental

Os presento otra de mis debilidades; el calculo mental. Iré introduciendo en artículos posteriores a algunos de los más grandes genios con habilidades para hacer todo tipo de cálculos complejos a velocidades de vértigo con la única ayuda del cerebro, la más compleja y potente de las máquinas. También se tratarán trucos y consejos para la mejora del cálculo y para el deleite propio y de nuestros amigos.

Comienzo con:

Srinivasa Ramanujan, un genio del que hablar.

Con con un rasgo sobresaliente, ojos brillantes... fue Ramanujan uno de los más curiosos genios que ha dado la humanidad. Nacido en el seno de una familia humilde de la India en 1.887, estaba dotado de una capacidad intuitiva para las matemáticas muy inusual.

Sin tener estudios matemáticos consiguió logros importantísimos gracias a su capacidad de abstracción y a su portentoso dominio de los números y sus propiedades.

Su presentación en Occidente fue a través de una carta que envió al prestigioso matemático inglés G. H. Hardy con varios de sus teoremas y fórmulas matemáticas. Cuando Hardy lo leyó hizo el siguiente comentario:

"Nunca había visto nada ni siquiera parecido. Una ojeada es suficiente para comprender que solamente podían ser escritas por un matemático de la más alta categoría. Tenían que ser ciertas, porque si no lo fueran, nadie habría tenido suficiente imaginación para inventarlas"

Tenía una extraordinaria memoria, pudiendo recordar las características de los diferentes números de una manera casi misteriosa. Como él mismo decía "cada entero positivo es uno de mis amigos personales".

Antes de su fallecimiento, de tuberculosis a los 33 años, Hardy fue a visitarlo y de entonces nos cuenta la siguiente anécdota:

"una vez fui a verle cuando yacía enfermo en Putney. Para romper el hielo le conté que había viajado en un taxi cuyo número me resultaba un tanto insípido, el 1.729. Rápidamente me respondió, no amigo no, es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos formas distintas".

1729 = 10^3 + 9^3; 1729 = 12^3 + 1^3

Añadió a su memoria, a su paciencia y a su capacidad de cálculo, un poder de generalización, un sentido de la forma y una capacidad de modificación rápida de sus hipótesis realmente sorprendente, que le sitúan, en su campo, en el lugar más destacado.

Como su mentor Hardy vuelve a decirnos:

"Probablemente, Ramanujan habría sido mejor matemático si lo hubieran descubierto y educado al poco de su juventud. Habría descubierto más cosas nuevas y, sin duda, de mayor importancia. Por otra parte, habría sido menos parecido a Ramanujan y más semejante a un profesor europeo y así la pérdida hubiera sido tal vez mayor que la ganancia"

Decir también que existe el premio anual Ramanujan para matemáticos jóvenes (menos de 45 años) de países en desarrollo. El premio es de US$ 10,000 en efectivo además de los gastos para el viaje y viáticos, para recibir su premio y dar su conferencia.

Fuentes:

• Vida y obra de Srinivasa Ramanujan
• Libro "la aventura del cálculo" de Alberto Coto; Récord Guinness de Cálculo.

Series numéricas

He aquí unas cuantas series de números para que intentéis saber como se han formado y como continúan. Agradecería que al principio solo se desvelase el término siguiente, para que el que acceda tras esto al acertijo pueda seguir participando y añadiendo más números. Cuando la cosa haya quedado clara, se puede dar la ley de formación.

1. 1, 4, 9, 61, 52, 63, 94, 46, 18, 1, 121, 441, 961...
2. 0, 1, 8, 11, 88, 101, 111, 181, 808, 818, 888, 1001, 1111, 1881, 8008, 8118, 8888, 10001, 10101, 10801, 11011...
3. 1, 1, 2, 4, 7, 11, 18, 36, 65, 101, 166, 332, 599, 931...
4. 3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 7...
5. 3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, 5, 2, 9, 8...

Hay que decir que algunas son realmente rebuscadas e ingeniosas. ¡Suerte a tod@s!.