Cuestión de preguntas

El otro día encontré en una sala de Go en kgs en la que semanalmente se publican pasatiempos matemáticos el siguiente dilema, parecido a muchos otros, que me llamo especialmente la atención por una pequeña modificación. No sé de la respuesta, espero que les divierta.

Dice así: '' Un hombre se encuentre frente a tres oráculos. Uno de ellos dice siempre la verdad, otro siempre miente y un tercero responde mentiras y verdades al azar. Has de hacer tres preguntas que se contestan con un sí o un no, destinadas a cuales quieras, con el objetivo de descubrir cual es cada oráculo. Existe además una dificultad añadida, que los oráculos responden a las preguntas con Ynah o Utah, pero no sabes cual se corresponde con el sí y cual con el no. ''

Infinitas incógnitas

Hace poco en Gaussianos apareció la siguiente cita tomada del libro "INFINITUM. Citas matemáticas" :

Ningún pensamiento como el del infinito ha turbado tan profundamente el espíritu humano, ni ninguna otra idea ha estimulado tan intensamente su intelecto.

David Hilbert

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El comentario de G (su blog: Fermat Margin) en la entrada anterior hizo que me acordara de un interesante problema en el que aparecen infinitas equis. Pese a que resulta difícil de imaginar es mucho más fácil de lo que parece.

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Se trata de calcular el valor de x en la ecuación:

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Y aquí una interesante variante:

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¡Suerte a tod@s! Mismo problema tratado con más profundidad en una entrada de Gaussianos.

Actualización (4 de julio de 2007): Semejanza de las dos ecuaciones anteriores con la representación mediante raíces anidadas del número aúreo.

El número aúreo es la solución a la ecuación:

--ç

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Si despejamos el término cuadrático tomando luego raíces, nos queda:

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Si ahora sustituimos el φ del radicando por su valor que se corresponde a la raíz completa y repetimos el proceso indefinidamente pasamos de:

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¿Bonito verdad? Más en Epsilones Fórmulas.

Encuentra el número

Cada letra representa una cifra diferente en cada caso:

1) AABB=(CD)² Hallar un cuadrado de la forma AABB

2) ABCD = (CD)² Hallar un número de 4 cifras que sea el cuadrado de sus dos últimas cifras

3) A²+2=B^3 Hallar un cuadrado que se tranforma en un cubo al sumarle 2 unidades

Encuentra el número II

Aunque por el Último Teorema de Fermat no haya números x, y, z enteros de la forma x^n=z^n + y^n para n>2 y "n natural"( y digo esto último porque al redactar me planteé:

¿existirán nº de la forma anterior en la que n es decimal? Lo digo porque siempre oi que tal personaje probó que no existían nº para n=3... ¿y para n=3,5? Puede que la respuesta sea inmediata, pero no alcanzó ahora a responder ¿Engloba la reciente demostración del Teorema de Fermat los "n decimales"?). Pero sin embargo existen infinitos valores de A, B, C y D que satisfacen:

4) A²+B²+C²=D² La suma de tres cuadrados es otro cuadrado

5) A^3+B^3+C^3=D^3 La suma de tres cubos es otro cubo

6) Y he aquí el que más me gusta (ABC)²=CDEABC Hallar un número de 3 cifras, tal que su cuadrado termine con las mismas 3 cifras, en el mismo orden. Para el caso de una cifra serían el 1, el 5 y el 6, y para el de dos cifras no es muy difícil. Alguien se atreve con 4 cifras, o con 5 cifras... , los resultados son infinitos, pero hace falta expresarlo todo algebraicamente.

Suerte a tod@s!, sería interesante alguna explicación a tantas preguntas que pasan por mi mente ;) De momento creo que es suficiente para mantener vuestras mentes activas.

Maratón de problemas II

1) ANA, BETTY Y CAROLINA
Se seleccionan 3 dígitos al azar distintos de 0. Se pega uno de esos tres dígitos en la frente de Ana, otro de los dígitos en la frente de Betty y el último dígito en la frente de Carolina, de tal modo que ninguna de las niñas vea el dígito que ella misma tiene en su frente. Además las niñas están en cubículos con vidrios especiales de tal modo que Ana puede ver a Betty y a Carolina, mientras que Betty solo puede ver a Carolina y Carolina solo a Betty. El objetivo para cada niña es deducir cuál es el dígito que lleva en la frente. El juez les informa que el número formado por los dígitos que tienen Ana, Betty y Carolina, en ese orden, es un cuadrado perfecto. Suponiendo que las tres llevan a cabo un razonamiento lógico.

Después de esto Ana dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".
En seguida Betty dice: "No puedo saber cuál es mi dígito".
Finalmente, Carolina dice: "Yo sí se cuál es mi dígito".

¿Cuál es el dígito que Carolina tiene en la frente?

2) CUMPLEAÑOS DE PABLO, MARÍA Y JUAN
Pablo, María y Juan celebran hoy los tres sus cumpleaños. Sus edades son diferentes. Pablo es el más joven de los tres, tiene cuatro años menos que Juan, el mayor. A los tres les encanta jugar con los números. Calculan todas las distintas sumas de dos y tres números entre sus edades. Sumando todas esas sumas obtienen un primer resultado. Calculan después todas las diferencias positivas entre sus edades, a continuación suman esas diferencias y obtienen un segundo resultado. Dividen el primer resultado entre el segundo, y cosa curiosa, se obtiene la edad de Juan.

¿Cuál es la edad de Juan?

!No! No faltan datos. Suerte a tod@s y a hacer uso de vuestro cálculo e ingenio

Series numéricas

He aquí unas cuantas series de números para que intentéis saber como se han formado y como continúan. Agradecería que al principio solo se desvelase el término siguiente, para que el que acceda tras esto al acertijo pueda seguir participando y añadiendo más números. Cuando la cosa haya quedado clara, se puede dar la ley de formación.

1. 1, 4, 9, 61, 52, 63, 94, 46, 18, 1, 121, 441, 961...
2. 0, 1, 8, 11, 88, 101, 111, 181, 808, 818, 888, 1001, 1111, 1881, 8008, 8118, 8888, 10001, 10101, 10801, 11011...
3. 1, 1, 2, 4, 7, 11, 18, 36, 65, 101, 166, 332, 599, 931...
4. 3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 7...
5. 3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, 5, 2, 9, 8...

Hay que decir que algunas son realmente rebuscadas e ingeniosas. ¡Suerte a tod@s!.

Maratón de problemas

Los tres siguientes problemas pertenecen a pruebas individuales presentados, por la Sociedad Asturiana de Educación Matemática "Agustín de Pedrayes" (SADEM) en diversas convocatorias.

1) ¡MENUDOS IMPUESTOS!:
En un perdido país de Oriente Medio, los ciudadanos han de pagar numéricamente el mismo % de impuestos que las rupias que ganan por semana. ¿Cuál será el salario ideal?

2) CAJAS CON BOLAS:
Tenemos tres cajas idénticas. En una hay dos bolas blancas y tiene escrito en la tapa el letrero BB. En otra hay dos negras y pone en la tapa NN. En la tercera, hay una bola blanca y otra negra y la tapa pone BN.
Un incordiante mueve las tapas de modo que ninguna corresponda con su contenido. ¿Cómo podemos saber el contenido exacto de cada una de las tres cajas, sacando una bola de la que elijamos?

3) BATALLÓN DE EXÁMENES:
Tres estudiantes, Antonio, Berta y Carlos participan en una serie de pruebas de Matemáticas. En cada prueba, el que queda primero recibe X puntos, el segundo recibe Y puntos y el tercero Z puntos, siendo X, Y, Z números enteros mayores que cero y tales que X>Y>Z. No hay empates. En total Antonio acumuló 20 puntos, Berta 10 puntos y Carlos 9 puntos. Antonio quedó el segundo en la prueba de Álgebra. ¿Quién quedó segundo en la prueba de Geometría?

Tendréis que hacer uso de vuestro ingenio para resolverlos. Espero vuestras respuestas ¡Suerte!

Tres pequeños acertijos

Os presento tres acertijos ordenados por dificultad que espero que resolváis:

1. Tres señoras obesas, paseaban debajo de un paraguas de tamaño normal. ¿Cómo es posible que no se mojaran?
2. Un hombre se dirige inexorablemente al centro de un campo, sabe que cuando llegue allí morirá, pero no puede dejar de ir por más que se resista ¿Puede usted explicar la situación?.
3. Dos vasos de capacidad no limitada contienen volúmenes iguales de café el uno y de leche el otro.

Se lleva a cabo la siguiente operación:

3.a) Se trasvasa el contenido de una cuchara del vaso de café al de leche y se remueve bien hasta que la mezcla de ambos líquidos se da por perfecta.

3.b) Seguido se trasvasa el contenido de la misma cuchara del vaso de mezcla al de café y se procura de nuevo una mezcla uniforme.

Se pide comparar la proporción final de café en el vaso que originalmente contenía sólo café con la de leche en el vaso que originalmente contenía sólo leche.

(Actualización)

Soluciones en los comentarios. El tercero que presenta una dificultad mayor, está sencilla y correctamente explicado por Oloman en los comentarios, aunque podéis encontrar otras dos soluciones en Mensa. Gracias a Cosus por su corrección acerca del valor absoluto final de café en el vaso de leche y viceversa. Gracias también a Sandra y Jose.

(Actualización 2)

Parece haber algún fallo en el desarrollo dado en los comentarios para la solución de 3). Y de nuevo gracias a Joyce por descubrir el posible error. Seguiremos informando.

Divisibilidades

Con los dígitos 1,2,3,4,5 y 6 formar un número abcdef tal que:

• El número abc es múltiplo de 4
• El número bcd es múltiplo de 5
• El número cde es múltiplo de 3
• El número def es múltiplo de 11

Solución en comentarios.